Poissonova závorka

Poissonova závorka označuje matematický výraz používaný v matematice a klasické mechanice (konkrétně v Hamiltonovské mechanice), kde se využívá k popisu časového vývoje dynamického systému. V matematice se Poissonova závorka používá k definici Poissonovy algebry (příkladem Poissonovy algebry je Poissonova varieta).

Poissonova závorka je pojmenována po Siméonu-Denisi Poissonovi.

Vyjádření v kanonických souřadnicích

Mějme ve fázovém prostoru s kanonickými souřadnicemi dvě funkce a . Poissonova závorka má pak tvar

Lze dokázat, že hodnota Poissonovy závorky je invariantní vůči kanonickým transformacím, tzn.

Není tedy nutno uvádět, ke kterým kanonickým souřadnicím se Poissonova závorka vztahuje.

Vlastnosti

Poissonovy závorky splňují následující vztahy

Poissonova závorka je tedy antikomutativní. Speciálním případem tohoto vztahu je

Dále platí

Platí také tzv. Jacobiho identita

Pro časovou derivaci Poissonovy závorky platí

Fyzikální aplikace

Rovnice pohybu

S využitím Hamiltonových kanonických rovnic lze pro totální časovou derivaci funkce f psát

,

Kde je Hamiltonova funkce. Funkce je tedy integrálem pohybových rovnic tehdy, pokud platí

V případě, že nezávisí explicitně na čase, zjednoduší se předchozí rovnice na tvar

Zvolíme-li za funkci Hamiltonovu funkci , pak podle bude platit

Podle tohoto vztahu se tedy Hamiltonova funkce zachovává tehdy, když nezávisí explicitně na čase.

Platí, že jsou-li funkce f, g integrály pohybových rovnic, je integrálem pohybových rovnic také Poissonova závorka .

Fundamentální Poissonova závorka

Důležitými Poissonovými závorkami jsou takové závorky, v nichž roli f a g hrají souřadnice a hybnosti. Někdy se také hovoří o fundamentální Poissonově závorce.

Takové Poissonovy závorky lze pak vyjádřit vztahy

kde je Kroneckerovo delta.

Související články