Poissonova závorka

Poissonova závorka označuje matematický výraz používaný v matematice a klasické mechanice (konkrétně v Hamiltonovské mechanice), kde se využívá k popisu časového vývoje dynamického systému. V matematice se Poissonova závorka používá k definici Poissonovy algebry (příkladem Poissonovy algebry je Poissonova varieta).

Poissonova závorka je pojmenována po Siméonu-Denisi Poissonovi.

Vyjádření v kanonických souřadnicích

Mějme ve fázovém prostoru s kanonickými souřadnicemi ${\displaystyle (q_{i},p_{j})}$ dvě funkce ${\displaystyle f(p_{i},q_{i},t)\,}$ a ${\displaystyle g(p_{i},q_{i},t)\,}$. Poissonova závorka má pak tvar

${\displaystyle \{f,g\}=\{f,g\}_{p,q}=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right].}$

Lze dokázat, že hodnota Poissonovy závorky ${\displaystyle \{f,g\}}$ je invariantní vůči kanonickým transformacím, tzn.

${\displaystyle \{f,g\}_{p,q}=\{f,g\}_{P,Q}}$

Není tedy nutno uvádět, ke kterým kanonickým souřadnicím se Poissonova závorka vztahuje.

Vlastnosti

Poissonovy závorky splňují následující vztahy

${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$

Poissonova závorka je tedy antikomutativní. Speciálním případem tohoto vztahu je

${\displaystyle \{f,f\}=0}$

Dále platí

${\displaystyle \{(f_{1}+f_{2}),g\}=\{f_{1},g\}+\{f_{2},g\}}$

${\displaystyle \{(f_{1}f_{2}),g\}=f_{1}\{f_{2},g\}+f_{2}\{f_{1},g\}}$

Platí také tzv. Jacobiho identita

${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$

Pro časovou derivaci Poissonovy závorky platí

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\{f,g\}=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}},g\right\}+\left\{f,{\frac {\partial g}{\partial t}}\right\}}$

Fyzikální aplikace

Rovnice pohybu

S využitím Hamiltonových kanonických rovnic lze pro totální časovou derivaci funkce f psát

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\{f,H\}}$,

Kde ${\displaystyle H}$ je Hamiltonova funkce. Funkce ${\displaystyle f}$ je tedy integrálem pohybových rovnic tehdy, pokud platí

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+\{f,H\}=0}$

V případě, že ${\displaystyle f}$ nezávisí explicitně na čase, zjednoduší se předchozí rovnice na tvar

${\displaystyle \{f,H\}=0}$

Zvolíme-li za funkci ${\displaystyle f}$ Hamiltonovu funkci ${\displaystyle H}$, pak podle bude platit

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial H}{\partial t}}}$

Podle tohoto vztahu se tedy Hamiltonova funkce zachovává tehdy, když nezávisí explicitně na čase.

Platí, že jsou-li funkce f, g integrály pohybových rovnic, je integrálem pohybových rovnic také Poissonova závorka ${\displaystyle \{f,g\}}$.

Fundamentální Poissonova závorka

Důležitými Poissonovými závorkami jsou takové závorky, v nichž roli f a g hrají souřadnice a hybnosti. Někdy se také hovoří o fundamentální Poissonově závorce.

Takové Poissonovy závorky lze pak vyjádřit vztahy

${\displaystyle \{Q_{i},P_{j}\}=\delta _{ij}}$

${\displaystyle \{Q_{i},Q_{j}\}=0}$

${\displaystyle \{P_{i},P_{j}\}=0}$

kde ${\displaystyle \delta _{ij}}$ je Kroneckerovo delta.

Související články

• Lagrangeova závorka
• Diracova notace
• Komutátor