Polární soustava souřadnic

Polární soustava souřadnic je taková soustava souřadnic v rovině, u které jedna souřadnice (označovaná ) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná ) udává úhel spojnice tohoto bodu a počátku od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji jí odpovídá osa kartézských souřadnic).

Polární soustava souřadnic je vhodná v případech takových pohybů, při nichž se nemění vzdálenost tělesa od jednoho bodu (počátku souřadnic), například u pohybu po kružnici, případně se tato vzdálenost mění s nějakou jednoduchou závislostí.

Souřadnicová síť v polárních souřadnicích
Bod v polární soustavě souřadnic
Ukázka dvou bodů v polárních souřadnicích: [r=3; φ=60°] a [r=4; φ=210°]
Ukázka převodu polárních souřadnic [r; φ] na kartézské [x; y]

Transformace

Transformace polárních souřadnic na kartézské:



Převod kartézských souřadnic na polární:



Tato převodní funkce však funguje jen na intervalu - pro jiné intervaly bychom museli změnit znaménko funkce arctg(x). Abychom mohli popsat inverzi pro daný úhel na celém jeho definičním intervalu, bývá často používána funkce arctg2(y,x) definovaná jako

Převod kartézských souřadnic na polární má potom zápis:



Vlastnosti

Jedná se o ortogonální soustavu souřadnic s Lamého koeficienty

.

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

tedy délka křivky obecně jako

kde t je parametr dané křivky a s je její délka od do .

Obsah infinitesimálního elementu plochy spočteme jako

takže celkový obsah spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou v polárních souřadnicích.

Christofelovy koeficienty Levi-Civitovy konexe generované Euklidovskou metrikou jsou dány vztahy

Diferenciální operátory v polárních souřadnicích





Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Coord XYZ.svg
XYZ coordinates. Based on work by InductiveLoad
Polar to cartesian.svg
Autor: No machine-readable author provided. Mets501 assumed (based on copyright claims)., Licence: CC BY-SA 3.0
A diagram showing the conversion between polar and Cartesian (rectangular) coordinates.
CircularCoordinates.png
Autor: unknown, Licence: CC BY-SA 3.0
Polarni soustava souradnic.svg
Bod v polární soustavě souřadnic.