Polookruh

Polookruh je v abstraktní algebře označení pro algebraickou strukturu podobnou okruhu, ve které ovšem nemusí pro všechny prvky existovat opačný prvek vzhledem ke sčítání. Jedná se o strukturu s dvěma binárními operacemi, která je vzhledem ke sčítání komutativním monoidem, vzhledem k násobení monoidem, pro operace platí distributivita a násobením nulovým prvkem vzniká nula.

Komutativním polookruhem se rozumí polookruh, kde platí komutativita pro násobení.

Definice polookruhu jako takového není zcela ustálená a za polookruh se někdy považuje i algebraická struktura, ve které není neutrální prvek vůči násobení ani vůči sčítání, tedy struktura se sčítáním a násobením, která je vzhledem ke sčítání komutativní pologrupou, vzhledem k násobení pologrupou a pro operace platí distributivita.

Příklady

• Nejobvyklejším příkladem polookruhu (komutativního s nulovým i jednotkovým prvkem) jsou přirozená čísla s nulou a s běžným násobením a sčítáním.
• Nezáporná racionální čísla s běžným sčítáním a násobením také tvoří polookruh (komutativní s nulovým i jednotkovým prvkem).
• Polookruhem (s nulovým i jednotkovým prvkem) je každý okruh.
• Množina všech ideálů okruhu spolu se sčítáním ideálů a násobením ideálů tvoří polookruh.
• Polookruhem je také libovolná Booleova algebra.
• Algebra typů je polookruhem, kde jednotkový typ je neutrální vůči produktu a nulový typ vůči koproduktu.

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Halbring (Algebraische Struktur) na německé Wikipedii a Semiring na anglické Wikipedii.