Polospojitost

Přesněji polospojitost shora a polospojitost zdola jsou pojmy používané v matematické analýze. Jsou to vlastnosti reálných funkcí, které jsou slabší než spojitost, nicméně dány dohromady již spojitost implikují. Každá z nich je tedy sama o sobě jen „půl spojitosti“. Zhruba řečeno reálná funkce f je shora polospojitá v bodě x, pokud pro body y blízké bodu x není f(y) o moc větší než f(x). Funkce f je zdola polospojitá, když v předchozím místo větší řekneme menší.

Přesná definice

Polospojitost shora

• Funkce f z topologického prostoru X do reálných čísel je shora polospojitá v bodě x z X, pokud pro každé ε>0 existuje okolí U bodu x, že ${\displaystyle f(y)<f(x)+\varepsilon }$ kdykoliv ${\displaystyle y\in U}$.

Ekvivalentně můžeme říci, že f je shora polospojitá v x, pokud ${\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)}$.

• Funkce f je shora polospojitá v X , jestliže je shora polospojitá v každém bodě prostoru X. Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru ${\displaystyle \{x\in X:f(x)<a\}}$ (kde a je nějaké reálné číslo) otevřené.

Polospojitost zdola

• Funkce f z topologického prostoru X do reálných čísel je zdola polospojitá v bodě x z X, pokud pro každé ε>0 existuje okolí U bodu x, že ${\displaystyle f(y)>f(x)-\varepsilon }$ kdykoliv ${\displaystyle y\in U}$.

Ekvivalentně můžeme říci, že f je zdola polospojitá v x, pokud ${\displaystyle \liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)}$.

• Funkce f je zdola polospojitá v X , jestliže je zdola polospojitá v každém bodě prostoru X. Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru ${\displaystyle \{x\in X:f(x)>a\}}$ (kde a je nějaké reálné číslo) otevřené.

Vlastnosti

• ${\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)\leq \liminf _{y\to x}f(y)}$ ukazuje, že pokud je f v x polospojitá shora i zdola, je již v x spojitá a (samozřejmě) i obráceně.

• Funkce f, která je shora polospojitá na kompaktním prostoru X, je již nutně shora omezená na X a na X má maximum. Analogicky, zdola polospojitá funkce na kompaktu je zdola omezená a má minimum.

• součet

• Protože ${\displaystyle \{\sup _{f\in {\mathcal {F}}}f>a\}=\bigcup _{f\in {\mathcal {F}}}\{f>a\}}$, je supremum libovolného systému zdola polospojitých funkcí ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ opět zdola polospojité. Totéž platí, zaměníme-li slůvko zdola za shora a supremum za infimum.

• Naopak supremum shora polospojitých (nebo dokonce spojitých) funkcí nemusí být shora polospojité, jak ukazuje příklad ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\arctan(n\cdot ):n\in \mathbb {N} \}}$.

Mnemotechnika

Je zajímavé, že naprosté většině lidí činí problémy zapamatovat si, která polospojitost je která.

Příklady

• Charakteristická funkce otevřené množiny je zdola polospojitá.
• Charakteristická funkce uzavřené množiny je shora polospojitá.
• Norma na Banachově prostoru X je slabě polospojitá zdola (tedy zdola polospojitá na topologickém prostoru (X,w)). Je-li dimenze X nekonečná, norma nemůže být slabě polospojitá shora, tedy ani slabě spojitá.

Související články

• Spojitá funkce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Polospojitost na Wikimedia Commons