Definitnost

Definitnost je pojem z lineární algebry. Popisuje, jaké znaménko mohou nabývat reálné kvadratické formy určené symetrickými maticemi, a obecněji i komplexní seskvilineární formy určené hermitovskými maticemi.

Definitnost matice se v geometrii používá k charakterizaci kuželoseček a kvadrik. Pozitivně definitní matice souvisejí se skalárním součinem a mají řadu aplikací mimo lineární algebru, například v matematické analýze k určování extrémů funkcí více proměnných, v semidefinitním programování a ve fyzice.

Pozitivně definitní matice	Indefinitní matice
${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&-{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}}$
Příslušná kvadratická forma ${\displaystyle Q}$ na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$: ${\displaystyle Q(x,y)={\frac {1}{4}}x^{2}+y^{2}}$	Příslušná kvadratická forma ${\displaystyle Q}$ na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$: ${\displaystyle Q(x,y)={\frac {1}{4}}x^{2}-{\frac {1}{4}}y^{2}}$
Body splňující ${\displaystyle Q(x,y)=1}$ (Elipsa).	Body splňující ${\displaystyle Q(x,y)=1}$ (Hyperbola).

Pokud pro hermitovskou komplexní matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$a každý nenulový komplexní vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\in \mathbb {C} ^{n}\setminus \mathbf {0} }$ platí:

Reálné hermitovské matice jsou symetrické a hermitovská transpozice splývá s obvyklou transpozicí. Předchozí definice se pro reálné matice zužuje následovně.

Pokud pro symetrickou reálnou matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$a každý nenulový reálný vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \mathbf {0} }$ platí:

Nechť ${\displaystyle V}$ je vektorový prostor nad komplexními (nebo reálnými) čísly.

Pokud pro Hermitovskou seskvilineární formu ${\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon V\times V\to \mathbb {C} }$ (resp. symetrickou bilineární formu ${\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon V\times V\to \mathbb {R} }$) a libovolný nenulový vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\in V\setminus \mathbf {0} }$ platí:

V případě, že prostor ${\displaystyle V}$ má konečnou dimenzi, lze formu reprezentovat vůči libovolné bázi maticí. Bez ohledu na volbu báze se definitnost formy se shoduje s definitností matice.

Definitnost kvadratické formy se odvozuje od definitnosti příslušné symetrické matice.

Každá hermitovská matice má všechna vlastní čísla reálná, neboť díky spektrální větě je podobná reálné diagonální matici s vlastními čísly na diagonále. Definitnost matice je určena znaménky vlastních čísel. Hermitovská matice je:

• pozitivně definitní, právě když má všechna vlastní čísla kladná.
• pozitivně semidefinitní, právě když má všechna vlastní čísla nezáporná.
• negativně definitní, právě když má všechna vlastní čísla záporná.
• negativně semidefinitní, právě když má všechna vlastní čísla nekladná.
• indefinitní, právě když má kladná i záporná vlastní čísla.

Řada vlastností platí pro více typů definitnosti, proto je formulujeme jen jednou a odpovídající části jsou odlišeny lomítky.

Pokud je matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ pozitivně/negativně definitní a ${\displaystyle r}$ je kladné reálné číslo, potom matice ${\displaystyle r{\boldsymbol {A}}}$ je pozitivně/negativně definitní.

Pro semidefinitní matice obou typů stačí, aby ${\displaystyle r}$ bylo nezáporné.

Pokud jsou matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ pozitivně/negativně definitní/semidefinitní, potom jejich součet ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}}}$ je pozitivně/negativně definitní/semidefinitní.

Pokud jsou matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ pozitivně/negativně definitní/semidefinitní a ${\displaystyle \alpha }$ je reálné číslo z intervalu ${\displaystyle \langle 0,1\rangle }$, potom jejich konvexní kombinace ${\displaystyle \alpha {\boldsymbol {A}}+(1-\alpha ){\boldsymbol {B}}}$ je pozitivně/negativně definitní/semidefinitní. Platí i pro konvexní kombinace více matic.

Pokud je matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ pozitivně/negativně definitní, potom matice k ní inverzní ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}}$ je pozitivně/negativně definitní.

• Maticový součin ${\displaystyle {\boldsymbol {AB}}}$ pozitivně definitních matic ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ stejného řádu nemusí být pozitivně definitní.
• Pokud ale součin komutuje, čili ${\displaystyle {\boldsymbol {AB}}={\boldsymbol {BA}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ jsou pozitivně definitní, pak ${\displaystyle {\boldsymbol {AB}}}$ je pozitivně definitní.
• Hadamardův součin ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\circ {\boldsymbol {B}}}$ pozitivně definitních matic ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ je pozitivně definitní.
• Kroneckerův součin ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\otimes {\boldsymbol {B}}}$ pozitivně definitních matic ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ je pozitivně definitní.
• Frobeniův skalární součin ${\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }}$ pozitivně definitních matic ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ je kladné číslo.

Nechť ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je reálná symetrická (resp. komplexní hermitovská) matice. Pak následujících deset tvrzení je ekvivalentních:

• Matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je pozitivně definitní.

• Všechna vlastní čísla matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ jsou kladná.

• Všechna vlastní čísla všech hlavních podmatic jsou kladná.

• Hlavní minory určené prvními ${\displaystyle k}$ řádky pro ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n\}}$ jsou kladné, neboli ${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}_{k}>0}$ , kde

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{1}=a_{11},\quad {\boldsymbol {A}}_{2}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},\quad {\boldsymbol {A}}_{3}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}},\quad \ldots }$

tzv. Jacobiho podmínka, či Sylvestrovo kritérium.

• Všechny hlavní minory matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ jsou kladné.

• Součty všech hlavních minorů ${\displaystyle k}$-tého stupně jsou kladné pro ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n\}}$.

• Existuje dolní trojúhelníková matice ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$ tak, že ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {L}}{\boldsymbol {L}}^{\mathrm {T} }}$ (resp. ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {L}}{\boldsymbol {L}}^{\mathrm {H} }}$ pro komplexní případ); viz Choleského rozklad.

• Existuje regulární matice ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ tak, že ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }}$ (resp. ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }}$ pro komplexní případ).

• Existují ortogonální (resp. unitární) matice ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ a diagonální matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ s kladnými prvky na diagonále takové, že ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {D}}{\boldsymbol {U}}^{\mathrm {T} }}$ (resp. ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {D}}{\boldsymbol {U}}^{\mathrm {H} }}$ pro komplexní případ); viz Jordanův normální tvar a Schurův rozklad.

• Existuje symetrická (resp. hermitovská) regulární matice ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ taková, že ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {F}}^{2}}$. Obvykle se značí ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\sqrt {\boldsymbol {A}}}={\boldsymbol {A}}^{1/2}}$; viz maticové funkce. Matici ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ lze získat například z výše uvedeného rozkladu ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {D}}{\boldsymbol {U}}^{\mathrm {T} }}$ jako ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {D}}^{1/2}{\boldsymbol {U}}^{\mathrm {T} }}$ (resp. s hermitovskou transpozicí pro komplexní matice), přičemž prvky diagonální matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}^{1/2}}$ jsou dány výrazem ${\displaystyle ({\boldsymbol {D}}^{1/2})_{ii}={\sqrt {d_{ii}}}}$.

Důkaz ekvivalence viz např. ^[1]

Věta dává k dispozici mnoho způsobů jak testovat pozitivní definitnost. V základním kurzu lineární algebry, při práci s malými maticemi (${\displaystyle n=1,2,3}$) se lze setkat s klasickou Jacobiho podmínkou (Sylvestrovým kritériem). Postupy založené na výpočtu determinantů (minorů) nebo vlastních čísel matice (podmatic) nejsou použitelné v praxi (${\displaystyle n=10^{6},10^{9},\ldots }$). Jediný prakticky upotřebitelný postup je Choleského rozklad.

Ve výpočetní praxi je často potřeba určit, zda je reálná symetrická matice pozitivně definitní, efektivním, zejména numericky stabilním a časově nenáročným způsobem. Jako nejvhodnější nástroj se pro tento účel jeví Choleského rozklad (výpočet má asymptotickou složitost ${\displaystyle n^{3}}$ a algoritmus je numericky stabilní). Pokud matice není pozitivně definitní, pak dojde v průběhu výpočtu k dělení nulou nebo odmocnění záporného čísla. Pokud matice je pozitivně definitní, tyto situace ve výpočtu Choleského rozkladu nenastanou.

Choleského rozklad lze určit i pro komplexní hermitovskou pozitivně definitní matic. Při výpočtu je třeba použít aritmetiku komplexních čísel, a proto je nezbytné hlídat, zdali při výpočtu nedochází k odmocnění záporného čísla. Pokus o výpočet takové odmocniny v komplexní aritmetice obecně neskončí chybovým hlášením programu, ale pokud taková situace nastane, znamená to, že daná matice není pozitivně definitní.

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Definite matrix na anglické Wikipedii a Definitheit na německé Wikipedii.

• FIEDLER, Miroslav. Speciální matice a jejich použití v numerické matematice. [s.l.]: TKI, SNTL, 1981. 
• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

• Choleského rozklad
• Determinant
• Hermitovská matice