Prüferova grupa

V teorii grup se pro prvočíslo p rozumí Prüferovou p-grupou taková p-grupa, v které má každý prvek p ptých odmocnin. Pro každé p existuje (až na izomorfismus) právě jedna Prüferova grupa a je značena ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$.

Prüferovy grupy jsou pojmenovány po německém matematikovi Heinzovi Prüferovi. Jedná se o spočetné Abelovy grupy. Prüferovy grupy mohou být reprezentovány podmnožinou komplexní jednotkové kružnice, do které jsou zařazeny právě všechny $p^{n}$té odmocniny z jedné (násobení odpovídá skládání otáčení).

Prüferovy grupy jsou divizibilní grupy, tj. rovnice ${\displaystyle x^{n}=a}$ má řešení pro libovolné celé číslo $n$ a libovolný prvek grupy $a$. Naopak každá divizibilní Abelova grupa je izomorfní přímému součtu Prüferových grup a kopií aditivní grupy racionálních čísel ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$.^[1]

Reference