Průběh funkce

Průběh funkce

Pokud se snažíme zjistit alespoň přibližný tvar grafu funkce, hovoříme o tom, že vyšetřujeme průběh funkce. Při tom se zkoumají různé vlastnosti funkce a hledají se funkční body, které graf funkce dělí na intervaly mající příslušnou vlastnost. Při vyšetřování průběhu funkce se zajímáme o následující vlastnosti:

  • definiční obor a obor hodnot
  • určíme periodičnost, sudost a lichost funkce a její ohraničenost
  • průsečíky grafu se souřadnými osami
    • Průsečík grafu funkce s osou získáme dosazením hodnoty do funkce , tzn. získáme hodnotu .
    • Průsečík grafu funkce s osou získáme řešením rovnice .
  • intervaly spojitosti funkce
  • body nespojitosti a limity v bodech nespojitosti
  • určíme první derivaci funkce, kterou využijeme k určení
  • vypočteme druhou derivaci a s její pomocí určíme
  • rovnice asymptot
  • funkční hodnoty ve vybraných význačných bodech (tím jsou myšleny nejen extrémy či inflexní body, ale také body informaci o průběhu funkce mezi těmito body)

Na základě získaných výsledků vyšetřování průběhu funkce pak lze sestrojit graf.

Příklad

Vyšetřujme průběh funkce .

Zatímco je definováno pro všechna reálná čísla, logaritmus je definován pouze pro . Definičním oborem vyšetřované funkce tedy bude .

Vzhledem k tomu, že funkce je definována pouze pro , není periodická, ani lichá nebo sudá.

Pro limitu v bodě 0 určíme pomocí l'Hospitalova pravidla

Funkci lze tedy definovat také v bodě , tzn. rozšířit definiční obor na .

Průsečík s osou získáme dosazením , tedy .

Průsečík s osou získáme z rovnice , která má řešení .

První a druhá derivace funkce jsou

Funkce je rostoucí v intervalu, ve kterém platí , což lze po dosazení zapsat jako . Řešením získáme, že funkce je rostoucí pro .

Funkce je klesající v intervalu, ve kterém platí , tzn. . Řešením získáme, že funkce je klesající pro .

V bodě je . Tento bod je tedy stacionárním bodem. Již z rozložení intervalů monotonie lze určit, že se jedná o ostré lokální minimum, což lze ověřit dosazením do druhé derivace, neboť . Hodnota funkce v tomto bodě je .

Vzhledem k tomu, že na celém definičním oboru funkce, je funkce konvexní ve všech bodech, kde je definována. Funkce nemá žádný inflexní bod.

Asymptoty k funkci neexistují, neboť .

Graf vyšetřované funkce tedy bude mít následující průběh.

Příklad vyšetřování průběhu funkce.
Příklad vyšetřování průběhu funkce.

Odkazy

Související články

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Prubeh funkce priklad1.png
Graf pro příklad vyšetřování průběhu funkce.
PrubehFunkce.svg
Autor: cs:user:Pastorius' JPG version made SVG by Magnat at cs.wikipedia, Licence: CC BY-SA 3.0
Průběh funkce