Pravděpodobnostní vytvořující funkce

Pravděpodobnostní vytvořující funkce diskrétní náhodné proměnné je v teorii pravděpodobnosti mocninná řada reprezentace (vytvořující funkce) pravděpodobnostní funkce náhodné proměnné. Pravděpodobnostní vytvořující funkce se často používají pro svůj stručný popis posloupnosti pravděpodobností Pr(X = i) v pravděpodobnostní funkci pro náhodnou veličinu X a díky tomu, že zpřístupňují dobře rozvinutou teorii mocninných řad s nezápornými koeficienty.

Definice

Jednorozměrný případ

Pokud X je diskrétní náhodná proměnná nabývající nezáporných celočíselných hodnot {0,1, ...}, pak pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné proměnné X je definována jako[1]

kde p je pravděpodobnostní funkce náhodné proměnné X. Jméno náhodné proměnné se často doplňuje jako dolní index: GX a pX, aby se zdůraznilo, že se funkce týkají určité náhodné proměnné X a jejího rozdělení pravděpodobnosti. Mocninná řada konverguje absolutně alespoň pro všechna komplexní čísla z s |z| ≤ 1; v mnoha případech je poloměr konvergence větší.

Vícerozměrný případ

Pokud X = (X1,...,Xd ) je diskrétní náhodná proměnná nabývající hodnoty v d-rozměrné nezáporné celočíselné mřížce {0,1, ...}d, pak pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné proměnné X je definována jako

kde p je pravděpodobnostní funkce náhodné proměnné X. Mocninná řada konverguje absolutně alespoň pro všechny komplexní vektory z = (z1,...,zd ) ∈ ℂd s max{|z1|,...,|zd |} ≤ 1.

Vlastnosti

Mocninná řada

Pro pravděpodobnostní vytvořující funkci platí všechna pravidla pro mocninné řady s nezápornými koeficienty. Konkrétně G(1) = 1, kde G(1) = limz→1G(z) zdola, protože součet pravděpodobností musí být roven jedné. Podle Abelovy věty pro mocninné řady s nezápornými koeficienty musí být poloměr konvergence jakékoli pravděpodobnostní vytvořující funkce alespoň 1.

Pravděpodobnosti a střední hodnota

Následující vlastnosti umožňují odvození různých základních veličin vycházejících z X:

  1. Pravděpodobnostní funkci náhodné proměnné X lze získat z derivací funkce G,
       
  2. Z vlastnosti 1 plyne, že pokud náhodné proměnné X a Y mají stejné pravděpodobnostní vytvořující funkce (GX = GY), pak pX = pY. Čili pokud X a Y mají stejné pravděpodobnostní vytvořující funkce, pak mají stejné rozdělení.
  3. Normalizaci hustoty pravděpodobnosti lze vyjádřit pomocí vytvořující funkce
       
    střední (očekávaná) hodnota náhodné proměnné X je
       
    Obecněji k-tý faktoriálový moment, náhodné proměnné X je
       
    Takže rozptyl náhodné proměnné X je
       
    Navíc k-tý obecný moment náhodné proměnné X je
       
  4. Platí , kde X je náhodná proměnná, je pravděpodobnostní vytvořující funkce (náhodné proměnné X) a je momentová vytvořující funkce (náhodné proměnné X) .

Funkce nezávislých náhodných proměnných

Pravděpodobnostní vytvořující funkce jsou užitečné pro práci s funkcemi nezávislých náhodných proměnných. Například:

  • Pokud X1, X2, ..., XN je posloupnost nezávislých náhodných proměnných (které mohou mít i různá rozdělení pravděpodobnosti) a
kde ai jsou konstanty, pak pravděpodobnostní vytvořující funkce je
Jestliže například
pak pravděpodobnostní vytvořující funkce GSN(z), je
Z uvedeného také plyne, že pravděpodobnostní vytvořující funkce rozdílu dvou nezávislých náhodných proměnných S = X1X2 je
  • Předpokládejme, že N je také nezávislá diskrétní náhodná proměnná nabývající nezáporných celočíselných hodnot s pravděpodobnostní vytvořující funkcí GN. Pokud X1, X2, ..., XN jsou nezávislé náhodné veličiny se stejným rozdělením pravděpodobnosti a s obvyklou pravděpodobnostní vytvořující funkcí GX, pak
To plyne z věty o celkové střední hodnotě:
Tento poslední fakt je užitečný při studiu Galtonových–Watsonových procesů a složených Poissonových procesů.
  • Opět předpokládejme, že N je nezávislá diskrétní náhodná proměnná nabývající nezáporné celočíselné hodnoty s pravděpodobnostní vytvořující funkcí GN a hustotou pravděpodobnosti . Pokud X1, X2, ..., XN jsou nezávislé náhodné proměnné, které nemají stejné rozdělení, a jsou pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné proměnné , pak
Pro Xi se stejným rozdělením se vzorec zjednodušuje na identitu uvedenou výše. Obecný případ bývá užitečný pro získání rozkladu SN pomocí vytvořující funkce.

Příklady

  • Pravděpodobnostní vytvořující funkce konstantní náhodné proměnné, tj. rozdělení s Pr(X = c) = 1, je
  • Pravděpodobnostní vytvořující funkce binomické náhodné proměnné, počet úspěchů v n pokusech s pravděpodobností úspěchu p v každém pokusu je
Jde o n-násobný součin pravděpodobnostní vytvořující funkce pro alternativní (Bernoulliho) rozdělení s parametrem p.
Takže pravděpodobnostní vytvořující funkce spravedlivé mince je
  • Pravděpodobnostní vytvořující funkce negativní binomické náhodné proměnné na {0,1,2 ...}, počet neúspěchů dokud r-tého úspěchu s pravděpodobností úspěchu v každém pokusu p je
(konverguje pro ).
Jde o r-násobný součin pravděpodobnostní vytvořující funkce geometrické náhodné proměnné s parametrem 1 − p na {0,1,2,...}.

Příbuzné koncepty

Pravděpodobnostní vytvořující funkce je příkladem vytvořující funkce posloupnosti (viz formální mocninná řada). Je ekvivalentní Z-transformaci pravděpodobnostní funkce a někdy se tak i nazývá.

K dalším vytvořujícím funkcím náhodných proměnných patří momentová vytvořující funkce, charakteristická funkce a kumulantová vytvořující funkce. Pravděpodobnostní vytvořující funkce je také ekvivalentní s faktoriálovou momentovou vytvořující funkcí, která jako může být také uvažována pro spojité a jiné náhodné proměnné.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Probability-generating function na anglické Wikipedii.

Literatura

  • JOHNSON, N.L.; KOTZ, S.; KEMP, A.W. Univariate Discrete distributions. 2. vyd. [s.l.]: Wiley, 1993. ISBN 0-471-54897-9. 

Média použitá na této stránce

Loglogisticpdf no-labels.svg
Autor:

Original uploader was Qwfp at en.wikipedia

, Licence: CC BY-SA 3.0
log-logistic density function plot, without labels (for use as a thumbnail)