Pravidelný mnohoúhelník

Pravidelné konvexní mnohoúhelníky

Pravidelný mnohoúhelník je mnohoúhelník, který má všechny úhly stejně velké a všechny strany stejně dlouhé. Může být konvexní nebo hvězdicový.

Obecné vlastnosti

Tyto vlastnosti se týkají i konvexních i hvězdicových pravidelných mnohoúhelníků.

• Všechny vrcholy pravidelného mnohoúhelníku leží na stejné kružnici (kružnice opsaná). Společně se stejnou délkou stran to znamená, že má i kružnici vepsanou, která se dotýká každé strany v jejím středu.
• Pravidelný n-úhelník je konstruovatelný Eukleidovskou konstrukcí tehdy a jen tehdy, když jsou liché dělitele n různá Fermatova prvočísla.
• Pravidelné mnohoúhelníky jsou symetrické.
• Pravidelný n-úhelník má n os souměrnosti, je-li n sudé číslo, pak má i střed souměrnosti.

Pravidelné konvexní mnohoúhelníky

Galerie

• 

  Rovnostranný trojúhelník

• 

  Čtverec

• 

  Pětiúhelník

• 

  Šestiúhelník

• 

  Sedmiúhelník

• 

  Osmiúhelník

• 

  Devítiúhelník

• 

  Desetiúhelník

• 

  Jedenáctiúhelník

• 

  Dvanáctiúhelník

• 

  Třináctiúhelník

• 

  Čtrnáctiúhelník

Úhly

Pro každý pravidelný konvexní n-úhelník platí, že každý vnitřní úhel je veliký

${\displaystyle (1-{\frac {2}{n}})\times 180}$ (neboli ${\displaystyle (n-2)\times {\frac {180}{n}}}$ ) stupňů

neboli ${\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}}$ radiánů

a každý vnější úhel (doplňkový k vnitřnímu úhlu) je veliký ${\displaystyle {\frac {360}{n}}}$ stupňů.

Úhlopříčky

Pro ${\displaystyle n>2}$ je počet úhlopříček ${\displaystyle {\frac {n(n-3)}{2}}}$.

Pro n-úhelník vepsaný do jednotkové kružnice je součin vzdáleností od jednoho vrcholu ke všem ostatním vrcholům (včetně sousedních) je rovný n.

Poloměry

Poloměr kružnice opsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:

${\displaystyle r={\frac {s}{2\sin {\frac {180}{n}}}}}$

Poloměr kružnice vepsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:

${\displaystyle \varrho ={\frac {s}{2\tan {\frac {180}{n}}}}}$

Pozn.: Délka poloměru kružnice vepsané se rovná délce apotémy, což je úsečka spojující střed se středem libovolné strany

Obsah

Obsah S pravidelného konvexního n-úhelníku s délkou strany s a poloměry kružnic opsané r a vepsané ${\displaystyle \varrho }$ je:^[1]

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}ns^{2}{\text{cotg}}{\tfrac {\pi }{n}}={\frac {1}{2}}nr^{2}\sin {\tfrac {2\pi }{n}}={\frac {1}{2}}ns\varrho }$

Pro pravidelné mnohoúhelníky se stranou s=1 jsou obsahy následující

Ze všech n-úhelníků daného obvodu má pravidelný mnohoúhelník největší plochu.^[2]

Pravidelné hvězdicové mnohoúhelníky

Pentagram {5/2}

Nekonvexní pravidelný mnohoúhelník je pravidelný hvězdicový mnohoúhelník. Nejznámějším příkladem je pentagram, který má stejné vrcholy jako pětiúhelník, ale spojuje jiné (všechny zbývající) vrcholy).

Pro každý hvězdicový mnohoúhelník s n stranami se udává Schläfliho symbol, který označuje „hustotu“ m, výsledný symbol je tedy {n/m}. Když je m rovno 2, znamená to, že se spojí každý druhý vrchol. Když je m rovno 3, spojí se každý třetí vrchol atd.

• pentagram - {5/2}
• hexagram - {6/2}
• heptagram - {7/2} a {7/3}
• oktagram - {8/2} a {8/3}
• enneagram - {9/2}, {9/3} a {9/4}
• dekagram - {10/2}, {10/3} a {10/4}
• hendekagram - {11/2}, {11/3}, {11/4} a {11/5}
• dodekagram - {12/2}, {12/3}, {12/4} a {12/5}

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Regular polygon na anglické Wikipedii.

Literatura

• Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 34-37

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu pravidelný mnohoúhelník na Wikimedia Commons

• Pravidelný mnohoúhelník v encyklopedii MathWorld (anglicky)