Projektivní grupa

Projektivní grupa je v matematice grupa, která je přirozenou grupou symetrie projektivního prostoru.

Formální definice

Pro vektorový prostor V nad tělesem F je projektivní grupa definována

${\displaystyle PGL(V):=GL(V)/Z(V),}$

kde ${\displaystyle Z(V)}$ je centrum ${\displaystyle PGL(V)}$. Protože centrum grupy je vždy normální podgrupa, je příslušná faktorová grupa dobře definována.

Podobně speciální projektivní grupa je definována

${\displaystyle PSL(V):=SL(V)/SZ(V),}$

kde ${\displaystyle SL(V)}$ je speciální lineární grupa a ${\displaystyle SZ(V)}$ její centrum.

V případě, že vektorový prostor dimenze ${\displaystyle n}$ je nad tělesem, v kterém každý prvek má ${\displaystyle n}$-tou odmocninu, obě grupy se rovnají.

Projektivní grupa má přirozenou akci na projektivním prostoru ${\displaystyle \mathbb {FP} ^{n-1}}$.

Příklad

Komplexní projektivní přímku můžeme přirozeně ztotožnit s Riemannovou sférou transformací ${\displaystyle (z,w)\mapsto z/w}$ a ${\displaystyle (z,0)\mapsto \infty }$. Projektivní grupa ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {C} )}$ pozůstává ze všech lineárních lomených funkcí

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

kde ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$.