Projektivní prostor

Projektivní prostor je geometrická a algebraická struktura.

Abstraktně se pro vektorový prostor ${\displaystyle V}$ nad komutativním tělesem ${\displaystyle F}$ definuje projektivní prostor ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$ jako množina všech jeho (neorientovaných) směrů (tj. jednorozměrných vektorových podprostorů):

${\displaystyle \mathbb {P} (V):=\{Fv\,|\,v\in V\backslash \{0\}\}}$

resp. ekvivalentně jako množina tříd ekvivalence na množině nenulových vektorů ${\displaystyle V\backslash \{0\}}$, pokud relaci ekvivalence definujeme jako (lineární závislost vektorů):

${\displaystyle v\simeq w\quad \Leftrightarrow \quad v=aw}$

pro nějaké ${\displaystyle a\in F}$.

Projektivní prostor ${\displaystyle n}$-rozměrného vektorového prostoru nad tělesem ${\displaystyle F}$ se také někdy značí ${\displaystyle \mathbb {FP} ^{n-1}}$ a jeho dimenze se definuje jako ${\displaystyle {n-1}}$

Příklady

Speciálním případem projektivního prostoru je reálná projektivní rovina ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$, kterou dostaneme volbou ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$.

Jednorozměrný komplexní projektivní prostor (komplexní projektivní přímka) ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ je difeomorfní dvourozměrné sféře. Jedná se dokonce o holomorfní varietu.

Fanova rovina je nejmenší projektivní rovina skládající se ze 7 bodů a 7 přímek, dostaneme ji jako ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\mathbb {P} ^{2}}$, kde ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ je dvouprvkové těleso.

Vlastnosti

Pro reálný resp. komplexní vektorový prostor ${\displaystyle V}$ konečné dimenze má projektivní prostor ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$ přirozenou strukturu hladké variety. Tato varieta je kompaktní.