Prostor s mírou

Prostor s mírou je neprázdná množina, ve které chceme měřit délky, obsahy, objemy, případně kvantity, s mírou, jakožto funkcí, která jejím podmnožinám přiřazuje jejich „velikost“. Prostory s mírou jsou základním předmětem zájmu teorie míry, což je odvětví matematiky, které se zabývá zobecněním pojmu objemu.

Na teorii míry je vystavěna moderní^{[Pozn 1]} teorie integrálu a využívá ji i jeden ze dvou hlavních přístupů k teorii pravděpodobnosti vycházející z pojmu pravděpodobnostní prostor, což je prostor s mírou, která výsledkům náhodného pokusu přiřazuje jejich pravděpodobnosti.

Požadavek na měřitelnost všech podmnožin libovolné množiny ${\displaystyle X}$ může vést^{[Pozn 2]} k Banachově-Tarského paradoxu^[1], proto se používá složitější definice, v níž není vyžadováno, aby všechny podmnožiny ${\displaystyle X}$ byly měřitelné. Podle této definice je prostor s mírou tvořen třemi složkami:

• množinou ${\displaystyle X}$, jejíž části chceme měřit,
• souborem všech měřitelných podmnožin množiny ${\displaystyle X}$,
• funkcí přiřazující každé měřitelné množině její „velikost“ – nějakou nezápornou hodnotu, která může být i nekonečná.

Definice

Prostor s mírou je uspořádaná trojice ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$, kde^[2][3]

• ${\displaystyle X}$ je neprázdná množina,
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ je ${\displaystyle \sigma }$-algebra na množině ${\displaystyle X}$,
• ${\displaystyle \mu }$ je míra na ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$.

Jednoduše lze říci, že prostor s mírou je měřitelný prostor s mírou na ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$.

Příklad

Uvažujme množinu ${\displaystyle X=\{0,1\}}$. Na konečných množinách bývá ${\textstyle \sigma }$-algebra obvykle celá potenční množina značená ${\textstyle {\mathcal {P}}(\cdot )}$. Nechť

${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X)}$,

pak lze potenční množinu vypsat výčtem prvků:

${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)=\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}}$

a míru ${\textstyle \mu }$ definujeme jako:

${\displaystyle \mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}}}$,

takže ${\textstyle \mu (X)=1}$ (díky aditivitě míry) a ${\textstyle \mu (\emptyset )=0}$ (z definice míry).

Tím dostaneme prostor s mírou ${\textstyle (X,{\mathcal {P}}(X),\mu )}$. Tento prostor je pravděpodobnostním prostorem, protože ${\textstyle \mu (X)=1}$. Míra ${\textstyle \mu }$ odpovídá alternativnímu (Bernoulliho) rozdělení s ${\textstyle p={\frac {1}{2}},}$ které se používá například jako model házení poctivou mincí.

Prostory s mírou

• Konečně měřitelné prostory jsou prostory vybavené konečnou mírou.
• Pravděpodobnostní prostory jsou konečně měřitelné prostory vybavené pravděpodobnostní mírou, tj. mírou, která množině ${\displaystyle X}$ přiřazuje míru ${\displaystyle 1}$.
• ${\displaystyle \sigma }$-konečně měřitelné prostory jsou prostory, jejichž míra je ${\displaystyle \sigma }$-konečná.^[4]
• Úplně měřitelné prostory jsou prostory vybavené úplnou mírou.^[5]

Odkazy

Poznámky

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Measure space na anglické Wikipedii.

Související články

• Měřitelný prostor
• Pravděpodobnostní prostor