Prvočíselná funkce

Prvočíselná funkce je funkce udávající počet prvočísel menších nebo rovných zadanému reálnému číslu x [1][2]. Bývá značena pomocí řeckého písmeneme π jako (ovšem nesouvisí nijak přímo se známějším Ludolfovým číslem) a je předmětem studia v matematice, v teorii čísel.

Hodnoty π(n) pro prvních 60 přirozených čísel

Historie

Rozložení prvočísel mezi přirozenými čísly je předmětem zájmu číselných teoretiků již dlouho. Na konci 18. století vyslovili Carl Friedrich Gauss a Adrien-Marie Legendre domněnku, že prvočíselná funkce přibližně odpovídá funkci

tedy že

Tento výsledek, známý jako prvočíselná věta, se podařilo dokázat až v roce 1896, kdy jeho důkaz podali nezávisle na sobě Jacques Hadamard a Charles de la Vallée Poussin za použití Riemannovy funkce.

Algoritmy pro získání hodnoty

Pro malé hodnoty je nejsnazší explicitně zjistit všechna prvočísla menší než (například pomocí Eratosthenova síta) a sečíst je.

Legendre vymyslel propracovanější způsob výpočtu : Pro dané reálné číslo a různá prvočísla , …,  je počet přirozených čísel nesoudělných se všemi a menších než roven

Pokud za , …,  zvolíme všechna prvočísla menší než odmocnina z , je toto číslo rovno:

Ještě lepší algoritmy od té doby vymysleli například Ernst Meissel nebo Derrick Henry Lehmer.

Odkazy

Související články

Externí odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Prime-counting function na anglické Wikipedii.

  1. BACH, Eric, Shallit, Jeffrey. Algorithmic Number Theory. [s.l.]: MIT Press, 1996. ISBN 0-262-02405-5. S. volume 1 page 234 section 8.8. 
  2. Prvočíselná funkce v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Média použitá na této stránce