Prvočinitel

V oboru abstraktní algebry je prvočinitel takový prvek ${\displaystyle p}$ komutativního okruhu ${\displaystyle R}$, který není ani nulou ani jednotkou a který pro všechna ${\displaystyle a,b\in R}$ splňuje podmínku, že pokud ${\displaystyle p}$ dělí součin ${\displaystyle ab}$, pak ${\displaystyle p}$ dělí ${\displaystyle a}$ nebo ${\displaystyle p}$ dělí ${\displaystyle b}$.

Jedná se o zobecnění prvočísel. V případě celých čísel jsou prvočiniteli právě prvočísla a čísla k nim asociovaná, tedy prvočísla vynásobená ${\displaystyle -1}$, tedy čísla ${\displaystyle 2,-2,3,-3,5,-5,7,-7,11,-11,\dots }$.

Vlastnosti

• Je-li prvek ${\displaystyle c}$ prvočinitelem, je prvočinitelem i prvek ${\displaystyle c\cdot j}$ pro libovolnou jednotku ${\displaystyle j}$
• V libovolném oboru integrity platí, že prvočinitel je vždy ireducibilním prvkem, ale opačně to obecně neplatí (příklad níže). V Gaussových oborech, kde platí analogie Základní věty aritmetiky, také platí, že každý ireducibilní prvek je prvočinitelem.
• Prvek ${\displaystyle c}$, který není jednotkou, je prvočinitelem právě tehdy, když je jím generovaný hlavní ideál ${\displaystyle \left(c\right)}$ nenulovým prvoideálem

Příklady

• například čísla ${\displaystyle -2}$ a ${\displaystyle 5}$ (a mnohá jiná) v oboru celých čísel
• například prvek ${\displaystyle 2+i}$ (a mnohé jiné) v oboru Gaussových celých čísel
• například mnohočlen ${\displaystyle x^{2}+1}$ (a mnohé jiné) v polynomiálním okruhu všech mnohočlenů s koeficienty z okruhu celých čísel
• v oboru integrity ${\displaystyle \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}$, jehož prvky jsou čísla tvaru ${\displaystyle a+bi{\sqrt {5}}}$ pro ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$, je sice číslo 2 ireducibilním prvkem, ale přestože dělí číslo 6, nedělí ani jeden z činitelů ${\displaystyle (1+i{\sqrt {5}})\cdot (1-i{\sqrt {5}})=6}$, tedy se nejedná o prvočinitele.
• protože všechny prvky těles jsou buď nulou nebo jednotkami, neobsahují tělesa žádné prvočinitele

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Primelement na německé Wikipedii.