Prvoideál (teorie okruhů)

Prvoideálem v okruhu ${\displaystyle R}$ je každý takový vlastní ideál ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq R}$, že pro libovolné dva ideály ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R}$ splňující ${\displaystyle {\mathfrak {ab}}\subseteq {\mathfrak {p}}}$ (tedy jejichž součin je podmnožinou ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$) platí ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}}$ nebo ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}}$.

Jedná se o analogii prvočísel, u kterých lze obdobně vyslovit: Přirozené číslo ${\displaystyle p}$ je prvočíslem právě tehdy, pokud pro jakákoliv dvě přirozená čísla ${\displaystyle a,b}$ platí, že pokud ${\displaystyle p}$ dělí ${\displaystyle ab}$, pak ${\displaystyle p}$ dělí ${\displaystyle a}$ nebo ${\displaystyle p}$ dělí ${\displaystyle b}$.

Příklady

• Ideál ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ je prvoideálem pravě když je ${\displaystyle n}$ prvočíslo
• V okruhu ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ všech polynomů s koeficienty z celých čísel je prvoideálem například ideál generovaný prvky 2 a X (jedná se o ideál tvořený všemi polynomy, které mají konstantní koeficient sudý).
• Každý maximální ideál je prvoideálem

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Prime ideal na anglické Wikipedii.