Rapidita

Rapidita je bezrozměrná fyzikální veličina, která je mírou pohybu prostorem, podobně jako rychlost. Zatímco rychlost objektů je podle speciální teorie relativity shora omezena rychlostí světla ve vakuu , rapidita může být libovolně velká. Pro tělesa v klidu má hodnotu 0 a pro pomalá tělesa je přímo úměrná rychlosti. Když se rychlost tělesa přibližuje , roste rapidita nade všechny meze.

Rapidita je definována vztahem

kde je bezrozměrná rychlost a funkce je hyperbolický tangens. Je-li známa rychlost, lze rapiditu spočítat pomocí funkce hyperbolický arkus tangens, kterou lze vyjádřit přirozeným logaritmem

Příklady

Rozvojem do Taylorovy řady lze ukázat, že pro rychlosti mnohem menší než je velmi přesně rovno . Například raketa pohybující se rychlostí 8 km/s má bezrozměrnou rychlost a rapiditu , liší se až na deváté platné číslici. Rapidita tedy v běžných situacích představuje přímo rychlost v přirozených jednotkách.

Pro vysoké rychlosti je rapidita větší než . Například při polovině rychlosti světla je , zatímco . Rapidita odpovídá rychlosti . Protony v prstenci LHC urychlené na energii 3,5 TeV mají rychlost a rapiditu . Při dalším urychlení na 7 TeV se rychlost zvýší jen nepatrně, , ale rapidita vzroste na .

Rychlost / m·s−1Bezrozměrná rychlostRapiditaLorentzův faktorPoznámka
0001těleso v klidu
20 0000,0000667130,0000667131,00000000223obvyklá rychlost planetární sondy
29 979 2460,10,1003351,00504relativistické jevy se začínají projevovat
123 932 3930,4133940,4396981,0982světlo v diamantu (n=2,419)
149 896 2290,50,549311,155
224 844 3440,750,972961,512
224 900 0000,750190,973381,512světlo ve vodě (n=1,3330)
228 320 1840,7615911,543
259 627 8840,866031,31702kinetická energie je rovna klidové
269 813 2120,91,47222,2942
296 794 5330,992,64677,0888
299 492 6660,9993,800222,366
299 762 4790,99994,951770,712
299 789 4600,999996,1030223,6
299 792 4530,9999999820449,26427 4637 TeV proton (LHC)
299 792 457,99640,99999999998812,92204 500104,5 GeV elektron (LEP, rekord v laboratoři)
299 792 457,999 999 999 999 9970,999999999999999999999990226,83,2×1011vzácný 3×1020 eV proton kosmického záření
299 792 458,01světlo ve vakuu

Skládání pohybů

klasické fyzice se rychlosti skládají prostým sčítáním. Pohybují-li se dvě rakety po téže přímce rovnoměrně směrem od sebe rychlostmi a , pak by cestovatel v jedné z nich měl podle klasické fyziky pozorovat, že druhá se od něj vzdaluje rychlostí . Tento vztah ale v přírodě neplatí, je-li alespoň jedna z rychlostí velká, tedy řádově srovnatelná s . Pro skládání rychlostí ve speciální teorii relativity platí vztah

Totéž lze vyjádřit pomocí bezrozměrných rychlostí

Lze ukázat, že

neboli

To znamená, že rapidity lze jednoduše sčítat jak v klasickém tak i relativistickém případě. Je například možné urychlit jeden proton na 3,5 TeV, druhý na 7 TeV a poslat je proti sobě. V soustavě spjaté s jedním z nich se bude druhý přibližovat s rapiditou 8,57+9,26=17,83.[pozn 1] Pokud se tělesa pohybují po téže přímce stejným směrem, pak se rapidity odečítají, tak jako klasické rychlosti. Když například proton o energii 7 TeV dohání druhý proton o energii 3,5 TeV, tak rapidita jejich vzájemného přibližování je 9,26-8,57=0,69.

Poznámky

  1. Při nárazu do stojícího terče je tak vysoká rapidita technicky nedosažitelná. To je důvod, proč LHC používá dva vstřícné svazky částic. Oba svazky v LHC mají před srážkou přesně stejnou rapiditu. Zde jsou použity protony s různou energií jen jako příklad.