Rapidita

Rapidita je bezrozměrná fyzikální veličina, která je mírou pohybu prostorem, podobně jako rychlost. Zatímco rychlost objektů je podle speciální teorie relativity shora omezena rychlostí světla ve vakuu ${\displaystyle c}$, rapidita může být libovolně velká. Pro tělesa v klidu má hodnotu 0 a pro pomalá tělesa je přímo úměrná rychlosti. Když se rychlost tělesa přibližuje ${\displaystyle c}$, roste rapidita nade všechny meze.

Rapidita ${\displaystyle r}$ je definována vztahem

${\displaystyle \operatorname {tgh} \,r=\beta \,,}$

kde ${\displaystyle \beta =v/c}$ je bezrozměrná rychlost a funkce ${\displaystyle \operatorname {tgh} }$ je hyperbolický tangens. Je-li známa rychlost, lze rapiditu spočítat pomocí funkce hyperbolický arkus tangens, kterou lze vyjádřit přirozeným logaritmem

${\displaystyle r=\operatorname {arctgh} \,\beta ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\beta }{1-\beta }}\,.}$

Příklady

Rozvojem do Taylorovy řady lze ukázat, že pro rychlosti mnohem menší než ${\displaystyle c}$ je ${\displaystyle r}$ velmi přesně rovno ${\displaystyle \beta }$. Například raketa pohybující se rychlostí 8 km/s má bezrozměrnou rychlost ${\displaystyle \beta =0{,}0000266851276159}$ a rapiditu ${\displaystyle r=0{,}0000266851276222}$, liší se až na deváté platné číslici. Rapidita tedy v běžných situacích představuje přímo rychlost v přirozených jednotkách.

Pro vysoké rychlosti je rapidita větší než ${\displaystyle \beta }$. Například při polovině rychlosti světla je ${\displaystyle \beta =0{,}5}$, zatímco ${\displaystyle r=0{,}5493}$. Rapidita ${\displaystyle r=1}$ odpovídá rychlosti ${\displaystyle \beta =0{,}7616}$. Protony v prstenci LHC urychlené na energii 3,5 TeV mají rychlost ${\displaystyle \beta =0{,}9999999282}$ a rapiditu ${\displaystyle r=8{,}57}$. Při dalším urychlení na 7 TeV se rychlost zvýší jen nepatrně, ${\displaystyle \beta =0{,}9999999820}$, ale rapidita vzroste na ${\displaystyle r=9{,}26}$.

Skládání pohybů

V klasické fyzice se rychlosti skládají prostým sčítáním. Pohybují-li se dvě rakety po téže přímce rovnoměrně směrem od sebe rychlostmi ${\displaystyle v_{1}}$ a ${\displaystyle v_{2}}$, pak by cestovatel v jedné z nich měl podle klasické fyziky pozorovat, že druhá se od něj vzdaluje rychlostí ${\displaystyle v_{1}+v_{2}}$. Tento vztah ale v přírodě neplatí, je-li alespoň jedna z rychlostí velká, tedy řádově srovnatelná s ${\displaystyle c}$. Pro skládání rychlostí ve speciální teorii relativity platí vztah

${\displaystyle v_{12}={\frac {v_{1}+v_{2}}{1+v_{1}v_{2}/c^{2}}}\,.}$

Totéž lze vyjádřit pomocí bezrozměrných rychlostí

${\displaystyle \beta _{12}={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{1+\beta _{1}\beta _{2}}}.}$

Lze ukázat, že

${\displaystyle \mathrm {arctgh} \,\beta _{12}=\mathrm {arctgh} \,\beta _{1}+\mathrm {arctgh} \,\beta _{2}\,,}$

neboli

${\displaystyle r_{12}=r_{1}+r_{2}\,.}$

To znamená, že rapidity lze jednoduše sčítat jak v klasickém tak i relativistickém případě. Je například možné urychlit jeden proton na 3,5 TeV, druhý na 7 TeV a poslat je proti sobě. V soustavě spjaté s jedním z nich se bude druhý přibližovat s rapiditou 8,57+9,26=17,83.^{[pozn 1]} Pokud se tělesa pohybují po téže přímce stejným směrem, pak se rapidity odečítají, tak jako klasické rychlosti. Když například proton o energii 7 TeV dohání druhý proton o energii 3,5 TeV, tak rapidita jejich vzájemného přibližování je 9,26-8,57=0,69.

Poznámky