Relace (matematika)

Jako relaci nebo n-ární relaci nazveme v matematice libovolný vztah mezi skupinou prvků jedné nebo více množin. Ve většině případů je tímto označením myšlena binární relace.

Definice

${\displaystyle n}$-ární relací mezi množinami ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots ,A_{n}}$, kde ${\displaystyle n\in N}$, rozumíme libovolnou podmnožinu kartézského součinu ${\displaystyle n}$ množin.

${\displaystyle n}$-ární relací na množině ${\displaystyle A}$ je tedy libovolná množina ${\displaystyle R}$ uspořádaných ${\displaystyle n}$-tic, přičemž ${\displaystyle R\subseteq A^{n}}$.

Klasifikace

Relace lze rozdělit podle počtu množin kartézského součinu následovně:

• Unární relací nazveme každou podmnožinu množiny ${\displaystyle M}$.
• Binární relací nazveme každou množinu uspořádaných dvojic ${\displaystyle [x,y]\in M^{2}}$.
• Ternární relací nazveme každou množinu uspořádaných trojic ${\displaystyle [x,y,z]\in M^{3}}$.
• ostatní relace jsou označovány buď souhrnným názvem n-ární relace nebo konkrétně podle vzoru:
  kvartární, pentární, sextární, septární, oktární, nonární atp.

Příklady

unární relace

• je kladné (záporné) číslo
• je (ne)pravdivý výrok

binární relace

• shodnost
• podobnost
• graf jakékoliv zobrazení ${\displaystyle f:A\to B}$ je relací ${\displaystyle (a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow f(a)=b}$.
• neostré uspořádání (reflexivní, slabě antisymetrická, tranzitivní binární relace):
  • dělitelnost
  • je (neostře) větší než (≥)
  • je podmnožinou
• ekvivalence (reflexivní, symetrická a tranzitivní):
  • rovnoběžnost
  • má stejnou barvu jako
• ostré uspořádání (antireflexivní, silně antisymetrická a tranzitivní):
  • je (ostře) větší než (>)
  • je starší než

ternární relace

• leží mezi

Literatura

BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

Související články

• Typy relací:
  • Úzká relace
  • Úplná relace
  • Symetrická relace
  • Antisymetrická relace
  • Trichotomická relace
  • Tranzitivní relace
  • Extenzionální relace
  • Fundovaná relace
  • Reflexivní relace
• Predikát (logika)
• Relační databáze

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu relace na Wikimedia Commons