Restrikce zobrazení

Matematický pojem restrikce zobrazení vyjadřuje zobrazení, které má menší definiční obor, než původní zobrazení.

Význam

Je-li ${\displaystyle f}$ zobrazení a ${\displaystyle C}$ podmnožina definičního oboru, pak restrikce zobrazení ${\displaystyle f}$ na množinu ${\displaystyle C}$ (značení ${\displaystyle {f|}_{C}}$) je zobrazení, které prvkům ${\displaystyle C}$ přiřadí totéž, co ${\displaystyle f}$, ale jiným prvkům nepřiřadí nic.

Příklad: Označme ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ operaci mocnina celých čísel a g(x) jeho restrikci na čísla přirozená. Pak platí:

${\displaystyle f(3)=g(3)=9}$

${\displaystyle f(-2)=4}$

${\displaystyle g(-2)}$ není definováno

Definičním oborem f jsou celá čísla, definičním oborem g jsou jen přirozená čísla

Formální definice

Formálně se zobrazení definuje jako množina uspořádaných dvojic, tzn. jako podmnožina kartézského součinu:

${\displaystyle f}$ je zobrazení z množiny ${\displaystyle A}$ do množiny ${\displaystyle B}$ (značíme ${\displaystyle f:A\to B}$ ), právě když ${\displaystyle f\subseteq A\times B}$.

Mějme zobrazení ${\displaystyle f:A\to B}$ a množinu ${\displaystyle C\subseteq A}$, pak restrikce ${\displaystyle f}$ na ${\displaystyle C}$ je definována takto:

${\displaystyle {f|}_{C}=f\bigcap (C\times B)}$

Jinými slovy, ${\displaystyle {f|}_{C}}$ restrikce zobrazení ${\displaystyle f}$ obsahuje pouze ty dvojice, jejichž levý prvek (tzv. vzor) leží v množině ${\displaystyle C}$.

Příklad

Je-li f funkce "druhá mocnina" na oboru ${\displaystyle N^{+}}$ přirozených čísel, pak formálně vzato je f nekonečná množina dvojic:

f = { (1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5,25) ... }

Restrikcí f na množinu {1,2,3} je tříprvková množina

${\displaystyle {f|}_{\{1,2,3\}}=f\bigcap (\{1,2,3\}\times N^{+})=\{(1,1),(2,4),(3,9)\}}$

Množina ${\displaystyle \{1,2,3\}\times N^{+}}$ obsahuje všechny uspořádané dvojice ${\displaystyle (a,b)}$, kde b je přirozené číslo a ${\displaystyle a\in \{1,2,3\}}$. Dvojice (4,16) v této množině není, proto není ani prvkem průniku (tj. restrikce, kterou tento průnik definuje). Naopak dvojice (1,2) a (1, 2345) v této množině jsou, ale nejsou prvkem f, takže také nejsou prvkem výsledného zobrazení.