Jeho základní myšlenka byla známa již starým Řekům, kteří jejím užitím dokázali počítat obsahy a objemy některých geometrických objektů (například jehlanu, kužele či koule). Pojmenován byl po německém matematikovi Bernhardu Riemannovi. Jeho definice umožňuje jeho použití pouze u funkcí jedné nezávisle proměnné. Pokud existuje Riemannův integrál dané funkce, pak o funkci říkáme, že je Riemannovsky integrovatelná. V zobecnění pro vícerozměrné případy byl nahrazen Lebesgueovým integrálem.
Motivace
Plocha pod grafem funkce.
Pokrytí plochy obdélníky pro horní součet.
Pokrytí plochy obdélníky pro dolní součet.
Definice Riemannova integrálu vychází z intuitivní představy měření obsahu plochy pod grafem funkce. Má-li se přibližně zjistit tento obsah, provede se to v praxi pokrytím téměř celé měřené plochy útvary o známém obsahu tak, aby nepřesahovaly hranici měřené plochy a vzájemně se nepřekrývaly. Po sečtení obsahů všech vložených útvarů vznikne číslo, které je zřejmě menší než obsah měřené plochy — dolní odhad. Obdobně pokrytím celé měřené plochy útvary o známém obsahu vznikne — horní odhad. Obsah měřené plochy pak leží mezi dolním a horním odhadem. Bude-li se používat k pokrývání plochy stále menších a menších útvarů, pak je možné oba odhady stále zpřesňovat, až teoreticky při pokrytí plochy nekonečně mnoha nekonečně malými útvary bude horní i dolní odhad roven stejnému číslu — obsahuplochy. Pro jednoduchost se při zavádění Riemannova integrálu používají za ony útvary, jimiž se plocha pokrývá, obdélníky se stranami rovnoběžnými s osamisoustavy souřadnic.
Definice
Uvedeme dvě definice Riemannova integrálu. První definice pochází od Bernharda Riemanna. Druhá definice pochází od Gastona Darbouxe. Obě definice jsou ekvivalentní. To znamená, že funkce je integrovatelná podle Darbouxovy definice, právě když je integrovatelná podle Riemannovy definice a hodnota integrálu podle obou definic je shodná. Z Darbouxovy definice lze snadněji odvodit některé důležité vlastnosti Riemannova integrálu, proto se v literatuře vyskytuje častěji. Obě definice užívají pojem dělení intervalu definovaný (n+1)-ticí takovou, že . Každá funkce, která je na daném intervalu po částech spojitá, je na tomto intervalu také integrovatelná.
Riemannova definice
Dělením body intervalu nazýváme takovou dvojici , kde a , že platí pro , kde a .
Riemannovu sumu funkce na intervalu s dělením body definujeme jako:
.
Normu dělení definujeme jako:
, normou dělení tedy rozumíme délku nejdelšího intervalu v .
Řekneme, že funkce má na intervalu Riemannův integrál, pokud pro každé existuje takové, že pro každé dělení body intervalu platí, že:
, tj. .
Darbouxova definice
Horní součet pro funkci a dělení intervalu definujeme jako:
.
Horní Riemannův integrál funkce od do definujeme takto:
.
Dolní součet pro funkci a dělení intervalu definujeme jako:
.
Dolní Riemannův integrál funkce od do definujeme takto:
.
Riemannův integrál funkce od do , za předpokladu rovnosti horního a dolního Riemannova integrálu, definujeme takto:
,
kde symbolem resp. označujeme supremum resp. infimum a je množina všech dělení intervalu .
Vlastnosti
Mějme funkce integrovatelné na intervalu . Pak platí
,
kde jsou konstanty. Na daném intervalu je tedy integrovatelná také funkce .
Integrovatelná je také funkce , přičemž platí
.
Také funkce je integrovatelná, avšak
.
Pokud je funkce na intervalu kladná a zdola ohraničená nebo záporná a shora ohraničená, tedy , pak je integrovatelná také funkce .
Zvolíme-li na intervalu bod takový, že , pak lze psát
.
Vzájemná záměna mezí intervalu, na němž integrujeme, vede ke změně znaménka integrálu, tzn.
.
Pokud pro všechna platí , pak
.
Pokud navíc alespoň v jednom bodě , v němž je funkce spojitá, platí také , pak
.
Je-li funkce na intervalu spojitá a současně platí , pak v celém intervalu platí .
Je-li na intervalu , pak platí také
.
Je-li na intervalu funkce omezená, tzn. , kde jsou konstanty, a funkce , pak platí nerovnosti
.
Funkce , které jsou spojité na , splňují tzv. Schwarzovu nerovnost
.
Můžeme definovat funkci proměnné vztahem
.
Funkce je spojitou funkcí proměnné a v každém bodě, v němž je spojitá, má derivaci, přičemž platí
.
Podobně lze definovat funkci
,
pro jejíž derivaci dostaneme
.
Pokud je funkce pro všechny body , pak hodnota integrálu je rovna obsahuplochy, jejíž obvod tvoří osy, funkce a rovnoběžky s osou , které mají rovnice.
Je-li např. na intervalu a na intervalu , pak plocha obrazce ohraničeného křivkou není rovna hodnotě integrálu , ale součtu integrálů .