Riemannova věta

Je-li reálná řada ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ neabsolutně konvergentní, pak ke každému ${\displaystyle S\in \mathbb {R} }$ existuje přerovnání ${\displaystyle \phi :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ takové, že ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\phi (n)}=S}$. Rovněž existuje oscilující přerovnání ${\displaystyle \phi :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ této řady.

Důkaz

• Nejprve si uvědomme, že platí ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}^{+}=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}^{-}=\infty }$, kde ${\displaystyle a_{i}^{+}}$ značí kladnou část čísla ${\displaystyle a_{i}}$, tedy ${\displaystyle a_{i}^{+}=\max(a_{i},0)}$, ${\displaystyle a_{i}^{-}}$ značí zápornou část tohoto čísla: ${\displaystyle a_{i}^{-}=\max(-a_{i},0)}$. Je tedy ${\displaystyle a_{i}=a_{i}^{+}-a_{i}^{-}}$ a ${\displaystyle |a_{i}|=a_{i}^{+}+a_{i}^{-}}$. To znamená, že původní řada musí obsahovat nekonečně mnoho kladných a nekonečně mnoho záporných členů, tedy je mohu stále vybírat a nikdy nedojdou.
• Je-li ${\displaystyle S<0}$, pak přeskočím následující krok.
• Najdu takové přirozené číslo ${\displaystyle n}$, pro které platí ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{+}>S}$. Tento součet označím ${\displaystyle T_{1}}$. Všimnu si, že jsem vlastně pouze sečetl všechny kladné členy této řady až do indexu ${\displaystyle n}$.
• Nyní najdu další přirozené číslo ${\displaystyle m}$ takové, aby ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}a_{i}^{-}+T_{1}<S}$. Tento součet označím ${\displaystyle T_{2}}$ a pokračuji předchozím krokem. Protože je původní řada konvergentní, budou se součty ${\displaystyle T_{1}}$ a ${\displaystyle T_{2}}$ postupně blížit k požadovanému ${\displaystyle S}$.

Související články

• Řada

Literatura

• Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
• Derbyshire John : Posedlost prvočísly. Galileo, Praha, 2007, 1. vydání. ISBN 978-80-200-1479-5
• Křížek Michal, Sommer Lawrence, Šolcová Alena : Kouzlo čísel. Galileo, Praha, 2011, 2. vydání. ISBN 978-80-200-1996-7