Rolleova věta

Rolleova věta (též Rollova věta) je matematická věta diferenciálního počtu. Je pojmenována po francouzském matematikovi Michelu Rolleovi, který větu formuloval v roce 1691.

Věta

Nechť f je spojitá funkce na uzavřeném intervalu ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ a nechť pro každý bod x otevřeného intervalu ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ existuje derivace ${\displaystyle f'\left(x\right)}$ a nechť ${\displaystyle f\left(a\right)=f\left(b\right)}$. Pak existuje bod c v otevřeném intervalu ${\displaystyle \left(a,b\right)}$, pro nějž platí

${\displaystyle f'\left(c\right)=0}$.

Důkaz

Důkaz rozdělíme do dvou částí:

1. Nechť funkce f je konstantní. Potom derivace ${\displaystyle f'\left(x\right)=0,\forall x\in \left(a,b\right)}$ a věta je dokázána.
2. Nechť funkce f není konstantní. Jelikož ${\displaystyle f\left(a\right)=f\left(b\right)}$ a funkce není konstantní, musí existovat ${\displaystyle d\in \left(a,b\right)}$ takové, že ${\displaystyle f\left(d\right)>f\left(a\right)=f\left(b\right)}$ nebo ${\displaystyle f\left(d\right)<f\left(a\right)=f\left(b\right)}$. Předpokládejme, že ${\displaystyle f\left(d\right)>f\left(a\right)=f\left(b\right)}$.

Využijeme věty tvrdící, že každá funkce spojitá na uzavřeném intervalu ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ nabývá na tomto intervalu svého maxima i minima a zabývejme se maximem. Jelikož existuje ${\displaystyle d\in \left(a,b\right)}$ takové, že ${\displaystyle f\left(d\right)>f\left(a\right)=f\left(b\right)}$, tak maximum nemůže ležet ani v a, ani v b. Leží tedy uvnitř intervalu, v bodě c. Z věty o nutné podmínce lokálního extrému vyplývá, že tedy v bodě c, kde se nalézá lokální extrém funkce, ${\displaystyle f'\left(c\right)=0}$.

Analogické tvrzení platí i pro minimum.

Historie

Rolleovu větu znal už ve dvanáctém století indický matematik Bháskara II. První formální důkaz podal francouzský matematik Michel Rolle v roce 1691. Název Rolleova věta byl poprvé použit v devatenáctém století.

Příklady

První příklad

Buď poloměr ${\displaystyle r>0}$ a mějme funkci

${\displaystyle f(x)={\sqrt {(r^{2}-x^{2})}},\quad x\in [-r,r]}$.

Jejím grafem je horní půlkruh se středem v počátku. Tato funkce je spojitá na uzavřeném intervalu ${\displaystyle [-r,r]}$ a má derivaci na otevřeném intervalu ${\displaystyle (-r,r)}$, ale ne v krajních bodech. Předpoklady Rolleovy věty jsou splněny, protože ${\displaystyle f(-r)=f(r)}$. A skutečně, bod s nulovou derivací existuje.

Druhý příklad

Pokud funkce nemá ve všech vnitřních bodech intervalu derivaci, nemusí závěr Rolleovy věty platit. Mějme funkci absolutní hodnoty:

${\displaystyle f(x)=\left\vert x\right\vert ,\quad x\in [-1,1]}$.

Ačkoli ${\displaystyle f(-1)=f(1)}$, neexistuje žádný bod ${\displaystyle c\in (-1,1)}$ takový, že ${\displaystyle f'(c)=0}$. Důvodem je právě to, že v bodě ${\displaystyle x=0}$ neexistuje derivace funkce ${\displaystyle f}$.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Rolle's theorem na anglické Wikipedii.

Související články

• Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu
• Cauchyova věta o střední hodnotě

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Rolleova věta na Wikimedia Commons