Rotace je diferenciální operátor udávající v každém místě lokální míru rotace (otáčení) vektorového pole .
Definice Operátor rotace je definován jako působení operátoru nabla prostřednictvím vektorového součinu na vektorovou funkci F : R 3 → R 3 {\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}
rot F = ∇ × F = | ı → ȷ → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z | = ( ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z ) ı → + ( ∂ F x ∂ z − ∂ F z ∂ x ) ȷ → + ( ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y ) k → = [ ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z ∂ F x ∂ z − ∂ F z ∂ x ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y ] {\displaystyle \operatorname {rot} \,\mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\vec {\imath }}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right){\vec {\jmath }}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\vec {k}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\\{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\end{bmatrix}}} kde v prvním řádku uvedeného determinantu jsou vektory kanonické ortonormální báze 3rozměrného Eukleidovského prostoru ve směrech kartézských souřadných os x , y , z {\displaystyle x,y,z} F = ı → F x + ȷ → F y + k → F z {\displaystyle \mathbf {F} ={\vec {\imath }}F_{x}+{\vec {\jmath }}F_{y}+{\vec {k}}F_{z}} F x , F y , F z {\displaystyle F_{x},F_{y},F_{z}} x , y , z {\displaystyle x,y,z}
Nejběžnějším vektorovým polem s nenulovou rotací je rychlostní pole v řece. Například loďku, která odrazí kolmo od břehu, proud stáčí. Vektorové pole rychlosti proudění má ve všech bodech kromě středu toku nenulovou rotaci. Operátor rotace se označuje r o t {\displaystyle \mathrm {rot} } c u r l {\displaystyle \mathrm {curl} } F z {\displaystyle F_{z}}
Nabla je diferenciální operátor , značí se symbolem ∇ ≡ [ ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ] {\displaystyle {\nabla }\equiv \left[{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right]} Hamiltonův operátor , neboť jej jako první používal sir William Rowan Hamilton . Označení Hamiltonův operátor je však téměř výhradně používáno pro hamiltonián . To je operátor celkové energie v kvantové mechanice , který se od operátoru nabla zásadně liší.
Vlastnosti Jsou-li F {\displaystyle \mathbf {F} } G {\displaystyle \mathbf {G} } vektorová pole , f {\displaystyle f} skalární pole , a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} reálná čísla , potom operátor rotace splňuje následující rovnosti:
Je lineární vůči reálným číslům
∇ × ( a F + b G ) = a ∇ × F + b ∇ × G {\displaystyle \nabla \times \left(a\mathbf {F} +b\mathbf {G} \right)=a\nabla \times \mathbf {F} +b\nabla \times \mathbf {G} } Rotace gradientu je nulový vektor
∇ × ∇ f = r o t g r a d f = 0 {\displaystyle \nabla \times \nabla f=\mathrm {rot} \,\mathrm {grad} \,f=\mathbf {0} } Rotace z vektorového pole násobeného polem skalárním (vektoru funkcí ) je
∇ × ( f F ) = ∇ f × F + f ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \left(f\mathbf {F} \right)=\nabla f\times \mathbf {F} +f\nabla \times \mathbf {F} } Rotace z vektorového součinu dvou vektorových polí je
∇ × ( F × G ) = ( G ⋅ ∇ ) F − ( F ⋅ ∇ ) G + F ( ∇ ⋅ G ) − G ( ∇ ⋅ F ) {\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)=\left(\mathbf {G} \cdot \nabla \right)\mathbf {F} -\left(\mathbf {F} \cdot \nabla \right)\mathbf {G} +\mathbf {F} \left(\nabla \cdot \mathbf {G} \right)-\mathbf {G} \left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)} kdežto pro rotaci z rotace vektorového pole F platí
∇ × ( ∇ × F ) = ∇ ( ∇ ⋅ F ) − Δ F {\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)-\Delta \mathbf {F} }
Je-li F {\displaystyle \mathbf {F} } vektorové pole v daných souřadnicích, pak platí:
Ve válcových souřadnicích :
∇ × F = ( 1 r ∂ F z ∂ φ − ∂ F φ ∂ z ) r → + ( ∂ F r ∂ z − ∂ F z ∂ r ) φ → + 1 r ( ∂ ( r F φ ) ∂ r − ∂ F r ∂ φ ) z → {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left({1 \over r}{\partial F_{z} \over \partial \varphi }-{\partial F_{\varphi } \over \partial z}\right){\boldsymbol {\vec {r}}}+\left({\partial F_{r} \over \partial z}-{\partial F_{z} \over \partial r}\right){\boldsymbol {\vec {\varphi }}}+{1 \over r}\left({\partial (rF_{\varphi }) \over \partial r}-{\partial F_{r} \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\vec {z}}}} Ve sférických souřadnicích :
∇ × F = 1 r sin θ ( ∂ ∂ θ ( F φ sin θ ) − ∂ F θ ∂ φ ) r → + 1 r ( 1 sin θ ∂ F r ∂ φ − ∂ ∂ r ( r F φ ) ) θ → + 1 r ( ∂ ∂ r ( r F θ ) − ∂ F r ∂ θ ) φ → {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={1 \over r\sin \theta }\left({\partial \over \partial \theta }(F_{\varphi }\sin \theta )-{\partial F_{\theta } \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\vec {r}}}+{1 \over r}\left({1 \over \sin \theta }{\partial F_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}(rF_{\varphi })\right){\boldsymbol {\vec {\theta }}}+{1 \over r}\left({\partial \over \partial r}(rF_{\theta })-{\partial F_{r} \over \partial \theta }\right){\boldsymbol {\vec {\varphi }}}} V obecných ortogonálních souřadnicích má rotace s využitím Laméových koeficientů h 1 {\displaystyle h_{1}} h 2 {\displaystyle h_{2}} h 3 {\displaystyle h_{3}}
∇ × F = 1 h 2 h 3 ( ∂ ( h 3 F 3 ) ∂ x 2 − ∂ ( h 2 F 2 ) ∂ x 3 ) x → 1 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{2}h_{3}}}\left({\frac {\partial \left(h_{3}F_{3}\right)}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \left(h_{2}F_{2}\right)}{\partial x_{3}}}\right){\boldsymbol {\vec {x}}}_{1}} + 1 h 1 h 3 ( ∂ ( h 1 F 1 ) ∂ x 3 − ∂ ( h 3 F 3 ) ∂ x 1 ) x → 2 {\displaystyle +\ \ \ \ \ {\frac {1}{h_{1}h_{3}}}\left({\frac {\partial \left(h_{1}F_{1}\right)}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial \left(h_{3}F_{3}\right)}{\partial x_{1}}}\right){\boldsymbol {\vec {x}}}_{2}} + 1 h 1 h 2 ( ∂ ( h 2 F 2 ) ∂ x 1 − ∂ ( h 1 F 1 ) ∂ x 2 ) x → 3 {\displaystyle +\ \ \ \ \ {\frac {1}{h_{1}h_{2}}}\left({\frac {\partial \left(h_{2}F_{2}\right)}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial \left(h_{1}F_{1}\right)}{\partial x_{2}}}\right){\boldsymbol {\vec {x}}}_{3}}
Rotace využívá Stokesova věta , která převádí křivkový integrál vektorového pole po uzavřené křivce na plošný integrál rotace tohoto vektorového pole přes libovolnou plochu křivkou ohraničenou.
Je-li rotace vektorového pole nulová, pak se toto pole dá napsat jako gradient skalární funkce a nazývá se potenciální vektorové pole.
Rotace vystupuje v řadě fyzikálních zákonů, například v Maxwellových rovnicích .
Literatura
