Rovinová souměrnost

Rovinová souměrnost je typ geometrického zobrazení v prostoru. Rovinová souměrnost zachovává vzdálenosti i úhly, jedná se tedy o jedno ze shodných zobrazení.

Souměrnost podle roviny nebo podle osy bývá také označována jako zrcadlení.

Definice

Rovinová souměrnost (též zrcadlová souměrnost) prostoru s rovinou O jako rovinou souměrnosti je takové zobrazení, které zobrazuje prvky roviny O na sebe samé a bod A mimo rovinu O s průmětem S do roviny O na bod A', který se nachází na polopřímce opačné k SA ve stejné vzdálenosti od S jako bod A (tj. platí pro něj |SA| = |SA´|).

Objekt v prostoru označujeme za rovinově souměrný, pokud je v nějaké rovinové souměrnosti obrazem sebe sama. Rovinu této souměrnosti pak nazýváme rovinou souměrnosti objektu.

Poznámka: Pod pojmem prostor ve výše uvedené definici je obvykle myšlen klasický třírozměrný eukleidovský prostor. Definice ale stejně dobře má smysl i v obecném n-rozměrném prostoru a (n−1)-rozměrnou nadrovinu souměrnosti pro n ≥ 4. Pak se ovšem pro zobrazení používá obecný pojem zrcadlová souměrnost (zrcadlení). Naopak obdobou v rovině, tedy pro n = 2, je osová souměrnost.

Příklady

• Krychle nebo kvádr jsou příkladem rovinově souměrného prostorového útvaru. Kvádr má tři roviny souměrnosti, krychle devět.
• Jehlan je rovinově souměrný pouze za předpokladu, že jeho základna je osově souměrný rovinný útvar a jeho vrchol leží kolmo nad osou souměrnosti základny.
• Koule je rovinově souměrná podle každé roviny, která obsahuje její střed souměrnosti.
• Kužel a válec jsou rovinově souměrné podle každé roviny, která obsahuje jejich osu souměrnosti.

Vlastnosti

Rovinová souměrnost je (jako každá souměrnost) involutorní, tzn. je sama sobě inverzním zobrazením - složením dvou rovinových souměrností se stejnou rovinou souměrnosti vzniká identita.

Rovinová souměrnost je nepřímá shodnost, viz např. pohled do zrcadla. Mění v prostoru orientaci v následujícím smyslu: pokud vezmeme libovolný trojboký jehlan ABCD, ve kterém je z pohledu z bodu trojúhelník ABC orientován po směru hodinových ručiček, pak pro jeho obraz v A'B'C'D' v rovinové souměrnosti platí, že při pohledu z bodu D' je trojúhelník A'B'C' orientován proti směru hodinových ručiček (a naopak naopak).

Související články

• Středová souměrnost
• Osová souměrnost
• Shodné zobrazení

Odkazy

• POMYKALOVÁ E. a kol., 2010: Matematika pro gymnázia - Stereometrie. Praha: Prometheus.
• BOČEK L., KOČANDRLE M., SEKANINA M., ŠEDIVÝ J., 1980. Geometrie II. Praha: SPN.