Rovnoběžník

Rovnoběžník

Rovnoběžník (latinsky parallelogrammum, někdy též r(h)omboid; ve starší české literatuře kosodélník) je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné.

Vlastnosti

Protější strany rovnoběžníku jsou shodné (mají stejnou délku) :

Protější úhly rovnoběžníku jsou shodné. Součet velikostí vnitřních úhlů čtyřúhelníku je 360°, součet dvou sousedních úhlů je 180°.

Velikost protilehlých úhlů má stejnou velikost, platí Průsečík úhlopříček e, f rovnoběžníku je jeho středem souměrnosti. Úhlopříčka rozděluje rovnoběžník na dva shodné trojúhelníky.

Úhlopříčky rovnoběžníku se vzájemně půlí. Délky úhlopříček se počítají podle vzorce:

Rovnoběžník je ​středově souměrný, středem souměrnosti je průsečík jeho úhlopříček.

Shrnutí vlastností čtyřúhelníků. [1]

ROVNOBĚŽNÍKY
čtverec obdélníkkosočtvereckosodélník
Ctverec uhlopricky.pngObdélník uhlopricky.pngKosočtverec uhlopricky.pngKosodelnik uhlopricky.png
všechny strany jsou stejně dlouhésousední strany mají různé délkyvšechny strany jsou stejně dlouhésousední strany mají různé délky
všechny vnitřní úhly jsou pravéžádný vnitřní úhel není pravý
úhlopříčky se navzájem půlí
úhlopříčky mají stejnou délkuúhlopříčky mají různé délky
úhlopříčky jsou k sobě kolméúhlopříčky nejsou k sobě kolméúhlopříčky jsou k sobě kolméúhlopříčky nejsou k sobě kolmé
úhlopříčky půlí vnitřní úhlyúhlopříčky nepůlí vnitřní úhlyúhlopříčky půlí vnitřní úhlyúhlopříčky nepůlí vnitřní úhly

Obsah

Obsah rovnoběžníku je roven: ,

kde a jsou délky přilehlých stran rovnoběžníku a je výška ke straně , obdobně je výška ke straně , je vnitřní úhel mezi přilehlými stranami.

V rovině

Pokud jsou vrcholy zadány pomocí souřadnic v rovině, tj. , , atd., je obsah rovnoběžníku roven absolutní hodnotě determinantu sestaveného ze souřadnic libovolných tří vrcholů takto

Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol s počátkem souřadného systému, tj. , pak tedy

Zcela analogicky lze spočítat objem libovolného rovnoběžnostěnu, resp. nadobjem libovoného -rozměrného nadrovnoběžnostěnu (v -rozměrném prostoru).

V trojrozměrném prostoru

Pokud jsou vrcholy zadány pomocí souřadnic v prostoru, tj. , , atd., a zavedeme-li stranové vektory

je obsah rovnoběžníku roven euklidovské normě (délce) vektoru , kde "" značí vektorový součin dvou vektorů. Tedy

kde "" značí skalární součin dvou vektorů.

Pokud mají směrové vektory nulové složky ve směru osy , tj.

pak

čímž dostaneme právě vztah pro výpočet obsahu rovnoběžníka v rovině.

Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol s počátkem souřadného systému, tj. , pak

v obecném případě, respektive

v případě, že směrové vektory mají navíc nulové složky ve směru osy .

Zobecněním vektorového součinu do -rozměrného prostoru (jedná se o součin lineárně nezávislých vektorů délky , jehož výsledkem je vektor kolmý na všechny předchozí, tvořící s nimi, v daném pořadí, pravotočivou bázi) lze zcela analogicky spočítat nadobsah libovolného -rozměrného nadrovnoběžníku v -rozměrném prostoru.

V n-rozměrném (reálném) prostoru

Pokud je rovnoběžník dán dvěma stranovými vektory v obecném reálném -rozměrném prostoru

pak jeho obsah je dán vztahem

kde "", resp. "" značí skalární součin dvou vektorů.

Dosazením

opět dostáváme známý vztah pro obsah rovnoběžníku v rovině.

Reference

  1. ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Matematika pro 7. ročník základní školy. [3], Shodnost. Středová souměrnost. Čtyřúhelníky, hranoly. 1. vyd. vyd. Praha: Prometheus, 1999. 87 s. s. Dostupné online. ISBN 80-7196-129-9, ISBN 978-80-7196-129-1. OCLC 41530899 

Literatura

  • Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, ISBN 80-85849-92-5, str. 97
  • Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 54-55

Související články

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Parallelogram measures.svg
Angles and such in a parallelogram
Kosodelnik uhlopricky.png
Autor: JanaJin, Licence: CC BY-SA 4.0
Kosodélník úhlopříčky
Obdélník uhlopricky.png
Autor: JanaJin, Licence: CC BY-SA 4.0
Obdélník úhlopříčky
Kosočtverec uhlopricky.png
Autor: JanaJin, Licence: CC BY-SA 4.0
Kosočtverec úhlopříčky
Ctverec uhlopricky.png
Autor: JanaJin, Licence: CC BY-SA 4.0
Čtverec úhlopříčky