Rozšířená reálná čísla

Rozšířená reálná čísla (značení ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}\,\!}$) je název používaný v matematické analýze pro množinu ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty ,-\infty \}\,\!}$, tedy pro reálná čísla rozšířené o dva symboly pro kladné a záporné nekonečno.

Jejich hlavní přínos spočívá v tom, že je možné pomocí nich definovat některé matematické pojmy pro několik situací zároveň, což definici zkrátí a zpřehlední. Například v definici pro limitu funkce ${\displaystyle y=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\,\!}$ je potřeba ošetřit celkem devět možností: ${\displaystyle x_{0}\,\!}$ i ${\displaystyle y\,\!}$ může být reálné číslo, ${\displaystyle -\infty \,\!}$ nebo ${\displaystyle +\infty \,\!}$; pomocí rozšířených reálných čísel je možno těchto devět možností vyjádřit jednou formulí.

Aritmetické operace a uspořádání

Aritmetické operace

Sčítání a odčítání

Definovat zde budeme pouze sčítání. Všimneme si, že odčítání je v něm již zahrnuto, např. ${\displaystyle \infty +(-4)=\infty -4}$ .

• ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{*}\setminus \{-\infty \}:(\infty +x)=(x+\infty )=\infty }$

• ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{*}\setminus \{\infty \}:(-\infty +x)=(x+(-\infty ))=-\infty }$

• ${\displaystyle -(\infty )=-\infty }$
• ${\displaystyle -(-\infty )=\infty }$

Definice je poměrně přirozená, jelikož zachovává zvyklosti z reálných čísel a „s nekonečnem operuje nekonečně“. První dva body říkají, že když k nekonečnu cokoli přičteme, dostaneme opět nekonečno (vyjma nekonečna s opačným znaménkem). To dává smysl i nematematicky: když přidáme nebo ubereme z něčeho nekonečného, pořád toho bude nekonečně. Druhé dva body přesně kopírují chování reálných čísel, např. ${\displaystyle -(4)=-4}$ a také ${\displaystyle -(-\pi )=\pi }$.

Násobení a dělení

• ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{*},x>0:(\pm \infty )*x=x*(\pm \infty )=\pm \infty }$
• ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{*},x<0:(\pm \infty )*x=x*(\pm \infty )=\mp \infty }$
• ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :\left({\frac {x}{\pm \infty }}\right)=0}$

I v tomto případě dává definice dobrý smysl. První dva body opět kopírují vlastnosti násobení reálných čísel, např. ${\displaystyle 4*(-8)=-32}$ nebo ${\displaystyle (-7)*(-2)=14}$ , neboli násobení s nekonečnem nakládá stejně, jako by to bylo obyčejné reálné číslo. Poslední bod si můžeme představit následovně. Zvolme si x = 1 (pro jednoduchost). Místo nekonečna si postupně dosazujme větší a větší čísla 10, 100, -1000, ${\displaystyle 10^{10}}$ , ${\displaystyle -10^{1000}}$ atd. Zlomek se tím více přibližuje nule, čím větší číslo do jmenovatele dosadíme (čím větší číslo v absolutní hodnotě). Proto když do jmenovatele dosadíme nekonečně velké číslo, celý zlomek bude roven nule.

Absolutní hodnota

• ${\displaystyle |\pm \infty |=\infty }$

Stejně tak absolutní hodnota se k nekonečnu chová jako k reálnému číslu.

Nedefinované aritmetické operace

Výše nebyly definovány některé operace, jelikož neumíme říci, čemu by se měly rovnat, např.

• ${\displaystyle \infty +(-\infty )}$
• ${\displaystyle (-\infty )+\infty }$
• ${\displaystyle \pm \infty *0}$
• ${\displaystyle 0*\pm \infty }$
• ${\displaystyle \left({\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}\right)}$
• ${\displaystyle \left({\frac {x}{0}}\right),\forall x\in \mathbb {R} ^{*}}$

Zvažme například, proč si neumíme poradit s posledním bodem. Pokusme se definovat ${\displaystyle \left({\frac {x}{0}}\right)}$ obdobně, jak jsme definovali, že ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :\left({\frac {x}{\pm \infty }}\right)=0}$. Dosadíme x = 1 (pro jednoduchost) a místo nuly uvažujme malá čísla – 0,1 ; 0,0001; – 0,00000001; 0,0000000000001. Narážíme zde na problém – zlomek se sice neustále zvětšuje, ale když dosazujeme kladná a záporná čísla, zvětšuje se "jinam", totiž směrem k ${\displaystyle \infty }$ a ${\displaystyle -\infty }$. A bohužel nelze říci, zdali by výsledek ${\displaystyle \left({\frac {x}{0}}\right)}$ měl být spíše jedno, či druhé.

Uspořádání

Množina reálných čísel je uspořádaná, tj. pro každá dvě čísla umíme říct, které z nich je větší, nebo že se rovnají, např. ${\displaystyle 4>3}$ ; ${\displaystyle e<\pi }$ ; ${\displaystyle \left({\frac {3125}{625}}\right)=\left({\frac {65}{13}}\right)}$ . Nyní chceme definovat, jak jsou vůči těmto prvkům uspořádané nové dva prvky ${\displaystyle +\infty ,-\infty }$

• ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :-\infty <x}$
• ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :\infty >x}$
• ${\displaystyle -\infty <\infty }$

${\displaystyle \varepsilon }$-okolí

Pojem „${\displaystyle \varepsilon -\,\!}$ okolí bodu ${\displaystyle x\,\!}$“ je označován ${\displaystyle U_{\varepsilon }(x)\,\!}$ a má tuto definici:

Pro každé ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*}\,\!}$ a ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+}\,\!}$ je

• ${\displaystyle U_{\varepsilon }(x)=(x-\varepsilon ,x+\varepsilon )\,\!}$ pokud ${\displaystyle x\in R\,\!}$
• ${\displaystyle U_{\varepsilon }(x)=\left\langle -\infty ,-{1 \over \varepsilon }\right)\,\!}$ pokud ${\displaystyle x=-\infty \,\!}$
• ${\displaystyle U_{\varepsilon }(x)=\left({1 \over \varepsilon },+\infty \right\rangle \,\!}$ pokud ${\displaystyle x=+\infty \,\!}$

Prstencové okolí je pak ve všech případech definováno jako ${\displaystyle P_{\varepsilon }(x)=U_{\varepsilon }(x)-\{x\}\,\!}$.

Okolí vs. ${\displaystyle \varepsilon }$-okolí

Množina ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{*}\,\!}$ se nazývá okolím bodu ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*}\,\!}$, pokud obsahuje ${\displaystyle \varepsilon }$-okolí bodu x pro nějaké ε>0. A se nazývá prstencovým okolím x, pokud neobsahuje x, ale pro nějaké ε>0 obsahuje jako podmnožinu nějaké prstencové ε-okolí bodu x.

Tyto definice jsou ekvivalentní s topologickými definicemi pojmu okolí a ε-okolí při níže uvedené topologii.

Topologie

Na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}\,\!}$ lze zavést strukturu topologického prostoru tak, že množina je otevřená, právě když s každým svým prvkem obsahuje nějaké jeho okolí.

Tato topologie je sice metrizovatelná, ale žádná z metrik, která ji indukuje, není na reálných číslech (tj. na ${\displaystyle \mathbb {R} \subsetneq \mathbb {R} ^{*}\,\!}$) totožná s obvyklou metrikou. Příkladem metriky, která tuto topologii indukuje, je zobrazení ${\displaystyle d(x,y)=|\operatorname {arctan} (x)-\operatorname {arctan} (y)|\,\!}$, pokud funkci arctan dodefinujeme (pouze pro účely této definice) tak, že ${\displaystyle \operatorname {arctan} (+\infty )={\pi \over 2}\,,\operatorname {arctan} (-\infty )=-{\pi \over 2}\,\!}$.

Limita posloupnosti

Rozšířená reálná čísla umožňují jedním vzorcem definovat limitu posloupnosti ${\displaystyle a=\lim _{n\to +\infty }a_{n}\,\!}$ pro konečné i nekonečné ${\displaystyle a}$ .

Budiž ${\displaystyle a_{n}\,\!}$ posloupnost reálných čísel a ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{*}\,\!}$. Řekneme, že ${\displaystyle a=\lim _{n\to +\infty }a_{n}\,\!}$, pokud

${\displaystyle (\forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{*})(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n>n_{0})a_{n}\in U_{\epsilon }(a)\,\!}$

Tato definice konvergence posloupnosti je ekvivalentní s konvergencí v topologickém prostoru při výše uvedené topologii.

Limita funkce

Rozšířená reálná čísla umožňují definovat limitu funkce jedním vzorcem pro konečné i nekonečné ${\displaystyle x_{0}}$ a ${\displaystyle y}$:

Je-li ${\displaystyle f:D_{f}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} \,\!}$ funkce, ${\displaystyle y\in R^{*}}$ a ${\displaystyle x_{0}\in R^{*}}$ takové, že ${\displaystyle x_{0}}$ leží v uzávěru ${\displaystyle D_{f}\,\!}$ ( definiční obor ${\displaystyle D_{f}\,\!}$ sice obsahuje jen konečná čísla, ale v jeho uzávěru – viz topologie na ${\displaystyle R^{*}}$ – může ležet i nekonečno), pak říkáme, že

${\displaystyle y=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\iff \forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}\exists \delta \in \mathbb {R} ^{+}:f[P_{\delta }(x_{0})]\subseteq P_{\epsilon }(f(x_{0}))\,\!}$

Tato podmínka je ekvivalentní s tvrzením, že pro každé okolí ${\displaystyle U_{1}}$ bodu ${\displaystyle y}$ existuje prstencové okolí ${\displaystyle P_{2}}$ bodu ${\displaystyle x_{0}}$ takové, že obraz ${\displaystyle P_{2}}$ leží v ${\displaystyle U_{1}}$ (tj. ${\displaystyle f[P_{2}]\subseteq U_{1}\,\!}$).

_{Důkaz ekvivalence: Pokud je y je limitou v prvním smyslu a chceme ověřit druhou formulaci, pak ε zvolíme tak, aby ${\displaystyle U_{\epsilon }(x)\subseteq U_{1}\,\!}$. Definice v prvním smyslu nám zaručuje existenci ${\displaystyle \delta }$ s příslušnou vlastností; poté ${\displaystyle P_{2}}$ zvolme jako ${\displaystyle P_{\delta }(x)}$. Naopak pokud y je limitou v druhém smyslu a máme dokázat spojitost pro nějaké ε>0, pak zvolíme ${\displaystyle U_{1}=U_{\epsilon }(x)}$ a ${\displaystyle \delta }$ zvolíme tak, aby ${\displaystyle P_{\delta }(x)\subseteq P_{2}}$.}