Rozdělení F

V teorii pravděpodobnosti a statistice je rozdělení F, známé také jako Snedecorovo nebo Fisherovo-Snedecorovo rozdělení (podle Ronalda Fishera a George W. Snedecora), spojité rozdělení pravděpodobnosti, které se často vyskytuje jako rozdělení testovací statistiky za předpokladu platnosti nulové hypotézy, a to u takzvaného F-testu, především v analýze rozptylu (ANOVA).^[1]

Náhodná proměnná mající rozdělení F s parametry d₁ a d₂ vzniká jako podíl dvou vhodně škálovaných nezávislých proměnných s rozdělením chí-kvadrát:^[2]

${\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}$

kde

• U₁ a U₂ mají rozdělení chí-kvadrát s d₁ a d₂ stupňů volnosti a
• U₁ a U₂ jsou nezávislé.

V případech, kdy se používá rozdělení F, například v analýze rozptylu, bývá nezávislost U₁ a U_2, dokazována použitím Cochranovy věty.

Definice

Nechť náhodná proměnná X má rozdělení F s parametry d₁ a d₂, což zapisujeme X ~ F(d₁, d₂). Pak hustota pravděpodobnosti (pdf) X je dána funkcí

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\&={\frac {1}{\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned}}}$

pro reálně x > 0, kde B je beta funkce. V mnoha aplikacích jsou parametry d₁ a d₂ přirozená čísla, ale distribuce je dobře definovaná pro libovolné kladné reálné hodnoty těchto parametrů.

Kumulativní distribuční funkce je

${\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),}$

kde I je regularizovaná neúplná beta funkce.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku F-distribution na anglické Wikipedii.