Rozdělení chí kvadrát

Rozdělení chí kvadrát čili rozdělení ${\displaystyle \chi ^{2}}$ (jinak také Pearsonovo rozdělení) s ${\displaystyle n}$ stupni volnosti je spojité rozdělení pravděpodobnosti, které je často využíváno ve statistice.^[1] Má velký význam pro určování, zda množina dat vyhovuje dané distribuční funkci. Rozdělení chí-kvadrát je jedním z nejpoužívanějších rozdělení pravděpodobnosti v inferenční statistice, především v testování statistických hypotéz a v konstrukci intervalů spolehlivosti.^[2][3][4][5]

Rozdělení ${\displaystyle \chi ^{2}}$ o ${\displaystyle n}$ stupních volnosti, které se označuje ${\displaystyle \chi ^{2}(n)}$, je rozdělení náhodné veličiny ${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{n}U_{i}^{2}}$, kde ${\displaystyle U_{i}}$ je ${\displaystyle n}$ vzájemně nezávislých náhodných veličin s normovaným normálním rozdělením ${\displaystyle \operatorname {N} (0,1)}$.^[6]

Rozdělení ${\displaystyle \chi ^{2}(n)}$ má hustotu pravděpodobnosti

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{ pro }}x\leq 0\\{\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x}{2}}}x^{{\frac {n}{2}}-1}&{\mbox{ pro }}x>0\end{matrix}}\right.}$

kde ${\displaystyle \Gamma }$ je gama funkce.

Střední hodnota rozdělení ${\displaystyle \chi ^{2}(n)}$ je

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=n}$

Rozdělení ${\displaystyle \chi ^{2}(n)}$ má rozptyl

${\displaystyle \sigma ^{2}(X)=2n}$

Momentová vytvořující funkce pro rozdělení ${\displaystyle \chi ^{2}(n)}$ má tvar

${\displaystyle m_{X}(t)={(1-2t)}^{-{\frac {n}{2}}}}$

Tabulka některých kvantilů pro některé počty stupňů volnosti:

Poznámka: 95% kvantil odpovídá kritické hodnotě pro 5% hladinu významnosti, 99% kvantil kritické hodnotě pro 1% hladinu významnosti.

Rozdělení ${\displaystyle \chi ^{2}(n)}$ se s rostoucím ${\displaystyle n}$ blíží k normálnímu rozdělení se střední hodnotou ${\displaystyle n}$ a rozptylem ${\displaystyle 2n}$.

• kolektiv autorů, 1978. Aplikovaná matematika. Praha: SNTL. 2386 s. (Oborové encyklopedie SNTL). (český) 
• WEISSTEIN, Eric W. Chi-Squared Distribution [online]. mathworld.wolfram.com [cit. 2024-10-11]. Dostupné online. (anglicky) 
• Engineering Statistics Handbook – Chi-Squared Distribution [online]. [cit. 2025-03-23]. Dostupné online. 
• JOHNSON, N. L.; KOTZ, S.; BALAKRISHNAN, N., 1994. Continuous Univariate Distributions. 2. vyd. [s.l.]: John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-58495-7. Kapitola Chi-Square Distributions including Chi and Rayleigh, s. 415–493. 
• MOOD, Alexander; GRAYBILL, Franklin A.; BOES, Duane C., 1974. Introduction to the Theory of Statistics. 3. vyd. [s.l.]: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-042864-5. S. 241–246. 

• Chí-kvadrát test
• Rozdělení pravděpodobnosti
• Normální rozdělení

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Χ² rozdělení na Wikimedia Commons