Rozhodnutelnost

Rozhodnutelnost je matematický pojem z oblasti matematické logiky. Vyjadřuje, zda existuje konečný algoritmus, který pro každou formuli určí, zda je v dané teorii dokazatelná nebo není. Teorie, pro niž takový algoritmus existuje, se nazývá rozhodnutelná, v opačném případě pak nerozhodnutelná. Problematika rozhodnutelnosti úzce souvisí s Gödelovými větami o neúplnosti.

Definice

Rozhodnutelná teorie

Teorie je rozhodnutelná, pokud množina všech formulí v ní dokazatelných je rekurzivní. Není-li teorie rozhodnutelná, nazývá se nerozhodnutelná.

Silně nerozhodnutelná struktura

Struktura se nazývá silně nerozhodnutelná, je-li nerozhodnutelná každá teorie, která ji má za model.

Vlastnosti

Rozhodnutelnost či nerozhodnutelnost se přenáší mezi teoriemi, mezi nimiž je určitý vztah. Nejpoužívanější tvrzení, která o tomto hovoří, jsou následující:

  • Rozšíření rozhodnutelné teorie o konečně mnoho axiomů v témže jazyce je rozhodnutelné.
  • Rozšíření rozhodnutelné teorie o definice je rozhodnutelné.
  • Teorie, v níž je interpretovatelná nerozhodnutelná teorie, je také nerozhodnutelná.
  • Konzervativní rozšíření nerozhodnutelné teorie je nerozhodnutelné.

O silně nerozhodnutelných strukturách platí:

  • Je-li v nějaké struktuře definovatelná silně nerozhodnutelná struktura, pak je tato struktura také silně nerozhodnutelná.

Dále se často používá:

  • Rekurzivně axiomatizovatelná nerozhodnutelná teorie je neúplná.

Příklady

Důsledky nerozhodnutelnosti Robinsonovy aritmetiky

Robinsonova aritmetika je nerozhodnutelná teorie. Dokonce každé bezesporné rozšíření Robinsonovy aritmetiky je nerozhodnutelné. Tato dvě tvrzení mají mnoho důsledků:

  • Protože je Robinsonova aritmetika konečně axiomatizovatelná, je nerozhodnutelná také prázdná teorie v jazyce aritmetiky.
  • Peanova aritmetika je nerozhodnutelná a protože je rekurzivně axiomatizovatelná, je neúplná.
  • Standardní model aritmetiky (struktura přirozených čísel) je silně nerozhodnutelná struktura.
  • Teorie standardního modelu (jejími axiomy jsou všechny formule platné ve standardním modelu) je nerozhodnutelná, protože je však úplná, nemůže být rekurzivně axiomatizovatelná.
  • Protože jsou přirozená čísla definovatelná v celých (např. pomocí Lagrangeovy věty o čtyřech čtvercích) a celá v racionálních, jsou struktury celých a racionálních čísel také silně nerozhodnutelné struktury. Odtud dále plyne:

Rozhodnutelné teorie

Následující teorie jsou rozhodnutelné:

Odkazy

Související články

Literatura

  • ŠVEJDAR, Vítězslav. Logika, neúplnost, složitost a nutnost. Praha: Academia, 2002. ISBN 80-200-1005-X.