Rozkladové těleso

V abstraktní algebře, podoboru matematiky, se rozkladovým tělesem polynomu s koeficienty z nějakého tělesa rozumí nejmenší nadtěleso tohoto tělesa, ve kterém lze onen polynom rozložit na součin polynomů stupně jedna.

Formální definice

Nechť je dáno těleso ${\displaystyle T}$, jeho nadtěleso ${\displaystyle U}$ a mnohočlen ${\displaystyle p(x)\in T[x]}$. Pak ${\displaystyle U}$ je rozkladové těleso mnohočlenu ${\displaystyle p(x)}$, pokud lze polynom ${\displaystyle p}$ rozložit v ${\displaystyle U}$na lineární polynomy, tedy

${\displaystyle p(x)=\prod _{i=1}^{\deg(p)}(x-a_{i}),}$

přičemž ${\displaystyle a_{i}\in U}$, a koeficienty ${\displaystyle a_{i}}$ generují ${\displaystyle U}$ nad ${\displaystyle T}$.

Vlastnosti

Lze ukázat, že rozkladové těleso je jednoznačné až na izomorfismus.

Máme-li dáno algebraicky uzavřené těleso ${\displaystyle V}$ obsahující ${\displaystyle T}$, pak existuje pro daný mnohočlen jednoznačně určené rozkladové těleso ${\displaystyle U}$, které je podtělesem ${\displaystyle V}$, a je generované právě kořeny ${\displaystyle p}$.

Příklady

• Těleso komplexních čísel je rozkladové těleso polynomu ${\displaystyle x^{2}+1}$ z tělesa reálných čísel.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Splitting field na anglické Wikipedii.