Rungeova–Kuttova metoda

Rungeova–Kuttova metoda je metoda pro numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic, kterou kolem roku 1900 vytvořili němečtí matematici Carl Runge a Wilhelm Kutta, případně některá z podobných metod (společně jsou zvané Rungeovy–Kuttovy metody).

Rungeova–Kuttova metoda hledá přibližné řešení rovnice ${\displaystyle {\dot {y}}=f(t,y)}$ s okrajovou podmínkou ${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}.}$ Přitom ${\displaystyle y=y(t)}$ je neznámá skalární nebo vektorová funkce času ${\displaystyle t}$, kterou chceme aproximovat. Známe funkci ${\displaystyle f}$, propojující časovou derivaci ${\displaystyle {\dot {y}}}$ s hodnotou ${\displaystyle y}$ a časem ${\displaystyle t,}$ a známe také počáteční čas ${\displaystyle t_{0}}$ a odpovídající hodnotu ${\displaystyle y}$ v tomto čase, která je ${\displaystyle y_{0}}$.

K odhadu ${\displaystyle y}$ klasickou Rungeovou–Kuttovou metodou (též označovanou RK4) je nejprve potřeba zvolit vhodný krok h > 0. Na jeho základě definujeme

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{\tfrac {1}{6}}\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right),\\t_{n+1}&=t_{n}+h\\\end{aligned}}}$

pro n = 0, 1, 2, 3, ..., přičemž

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=h\ f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=h\ f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {k_{1}}{2}}\right),\\k_{3}&=h\ f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {k_{2}}{2}}\right),\\k_{4}&=h\ f\left(t_{n}+h,y_{n}+k_{3}\right).\end{aligned}}}$

Číslo ${\displaystyle y_{n}}$ je aproximace hodnoty ${\displaystyle y(t_{n})}$. Aproximace se počítají jako vážené průměry čtyř jednodušších odhadů ${\displaystyle k_{1}}$ až ${\displaystyle k_{4}}$. Zdůvodnění tohoto postupu vychází ze Simpsonova pravidla pro integrál rovnice za předpokladu, že ${\displaystyle f}$ nezávisí na ${\displaystyle y}$.

Popsaná metoda dosahuje v jednom kroku chyby v řádu ${\displaystyle O(h^{5})}$ a celkově akumulované chyby v řádu ${\displaystyle O(h^{4}).}$^[1] Neuvažujeme-li vliv zaokrouhlovacích chyb, tak menší krok obvykle vede k přesnějšímu odhadu, avšak za cenu více počítání.

Reference

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Rungeova–Kuttova metoda na Wikimedia Commons