Sféra (matematika)

V matematice se slovem sféra označuje obvykle kulová plocha, tedy plocha tvořící povrch koule. Sféra je definována jako množina všech bodů, které se nacházejí ve vzdálenosti r (poloměr) od bodu S (střed). Sféra dimenze n se někdy značí n-sféra.

Definice

• V euklidovské geometrii a v klasické analýze je n-rozměrná sféra poloměru r definována ${\displaystyle S^{n}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1},\sum _{i}x_{i}^{2}=r^{2}\}}$

• V topologii je n-rozměrná sféra topologický prostor homeomorfní výše uvedené euklidovské sféře. Ekvivalentně je sféra jednobodová kompaktifikace prostoru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Pro ${\displaystyle n=\infty }$ se také definuje sféra ${\displaystyle S^{\infty }}$, která je v jistém smyslu limitou konečně rozměrných sfér.

Vlastnosti

• n-sféra je kompaktní, souvislá pro dimenzi n > 0 a pro n>1 také jednoduše souvislá množina.
• Obsah (dvourozměrné euklidovské) sféry je ${\displaystyle 4\pi r^{2}}$, obecněji je objem (n-rozměrná míra) n-rozměrné sféry poloměru r ${\displaystyle {2\pi ^{\frac {n+1}{2}} \over \Gamma ({\frac {n+1}{2}})}r^{n}.}$
• Eulerova charakteristika n-sféry je 2 pro n sudé a 0 pro n liché.
• Homologie a kohomologie n-sféry jsou netriviální pouze v dimenzi 0 a n.
• Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 2rozměrná varieta je homeomorfní 2-sféře.
• Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 3rozměrná hladká varieta je homeomorfní 3-sféře (Poincarého hypotéza, jediný z sedmi problémů tisíciletí, který byl zatím vyřešen).
• Jediné sféry, které mají strukturu Lieovy grupy jsou n-sféry pro n = 0, 1, 3 (jsou to sféry jednotkových reálných čísel, komplexních čísel a kvaternionů).
• Jediné sféry, které jsou úplně paralelizovatelné, jsou ${\displaystyle S^{0},S^{1},S^{3},S^{7}}$ (paralelizovatelnost ${\displaystyle S^{7}}$ má souvislost s oktoniony).
• Na n-sféře existuje paralelní hladké nenulové vektorové pole, právě když n je liché.
• 2-sféra může mít strukturu komplexní variety

Otevřené problémy

• Homotopie sféry nejsou obecně známy.
• Maximální počet nezávislých vektorových polí na n-sféře není obecně znám.
• Počet neizomorfních diferencovatelných struktur n-sféry není obecně znám.
• Není známo, zda 6-sféra připouští strukturu komplexní variety.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu sféra na Wikimedia Commons