Sférická soustava souřadnic

Sférická soustava souřadnic (kulová soustava souřadnic) je soustava křivočarých souřadnic v prostoru, v níž jedna souřadnice (označovaná ${\displaystyle r}$) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná ${\displaystyle \varphi }$) udává úhel odklonu průvodiče bodu od osy ${\displaystyle x}$ a třetí souřadnice (označovaná ${\displaystyle \theta }$) úhel mezi průvodičem a osou ${\displaystyle z}$.

Sférické souřadnice se s mírnou obměnou užívají např. v zeměpisu jako zeměpisné souřadnice.

Sférická soustava souřadnic je obecně vhodná v problémech, které mají sférickou symetrii. Tyto mají zpravidla ve sférických souřadnicích podstatně jednodušší tvar.

Transformace sférických souřadnic na kartézské:

${\displaystyle x=r\sin {\theta }\cos {\varphi }}$

${\displaystyle y=r\sin {\theta }\sin {\varphi }}$

${\displaystyle z=r\cos {\theta }\,}$

Převod kartézských souřadnic na sférické:

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},}$

${\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg2} (y,x),}$

${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {z}{r}}\right),}$

kde arctg2(x,y) je zobecnění funkce arkus tangens. Úhly volíme v rozsahu ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$ a ${\displaystyle 0\leq \varphi <2\pi }$.

Jakobián transformace z kartézské do sférické soustavy souřadnic :

${\displaystyle J=r^{2}\sin \theta }$

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \ \mathrm {d} \varphi ^{2}.}$

Objem infinitesimálního elementu prostoru spočteme jako

${\displaystyle \mathrm {d} V=r^{2}\sin \theta \mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \theta ,}$

takže celkový objem spočteme integrací tohoto výrazu přes dané těleso vyjádřené ve sférických souřadnicích.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu sférická soustava souřadnic na Wikimedia Commons
• Kniha Geometrie/Soustavy souřadnic/Sférická soustava souřadnic ve Wikiknihách