Sférické harmonické funkce jsou ortogonální řešení úhlové části Laplaceovy rovnice vyjádřená ve sférických souřadnicích . Mají využití v mnoha oblastech matematiky a fyziky - např. jsou vhodné pro snadné vyjádření multipólového rozvoje v elektrostatice , pro řešení Schrödingerovy rovnice pro atom vodíku , pro velmi dobrou aproximaci gravitačního pole Země v její blízkosti či pro analýzu reliktního záření .
Sloupce: l=0 do 4l,m a Yl,-m jsou shodné, ale navzájem otočené o 90 stupňů kolem osy z . Laplaceova rovnice ve sférických souřadnicích je:
1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 f ∂ φ 2 = 0 {\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0} (viz sférická soustava souřadnic ).
Separace proměnných vede k řešení vyjádřitelnému v goniometických funkcích a Legendrových polynomech .
Obecné řešení, které je konečné s r jdoucím k nekonečnu, je lineární kombinací funkcí ve tvaru
r − 1 − ℓ cos ( m φ ) P ℓ m ( cos θ ) {\displaystyle r^{-1-\ell }\cos(m\varphi )P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })} a
r − 1 − ℓ sin ( m φ ) P ℓ m ( cos θ ) {\displaystyle r^{-1-\ell }\sin(m\varphi )P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })} kde P ℓ m {\displaystyle P_{\ell }^{m}} přidružené Legendrovy polynomy s celočíselnými parametry ℓ ≥ 0 {\displaystyle \ell \geq 0} m od 0 do ℓ {\displaystyle \ell }
Jinými slovy řešení s celočíselnými parametry ℓ ≥ 0 {\displaystyle \ell \geq 0} m od − ℓ {\displaystyle -\ell } ℓ {\displaystyle \ell }
U ℓ , m ( r , θ , φ ) = r − 1 − ℓ Y ℓ m ( θ , φ ) {\displaystyle U_{\ell ,m}(r,\theta ,\varphi )=r^{-1-\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )} kde funkce Y jsou sférické harmonické funkce s parametry l , m , které lze psát jako:
Y ℓ m ( θ , φ ) = ( 2 ℓ + 1 ) 4 π ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! ⋅ e i m φ ⋅ P ℓ m ( cos θ ) {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\cdot e^{im\varphi }\cdot P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })} Sférické harmoniky splňují normalizační podmínku (δaa = 1 a δab = 0 pokud a ≠ b)
∫ θ = 0 π ∫ φ = 0 2 π Y ℓ m Y ℓ ′ m ′ ∗ d Ω = δ ℓ ℓ ′ δ m m ′ , d Ω = sin θ d φ d θ {\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'*}\,\mathrm {d} \Omega =\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\quad \quad \mathrm {d} \Omega =\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \theta } platí pro ně
Y ℓ − m ( θ , φ ) = ( − 1 ) m Y ℓ m ∗ ( θ , φ ) {\displaystyle Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi )=\left(-1\right)^{m}Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )} a splňují relace úplnosti
∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ Y ℓ m ( θ , φ ) Y ℓ m ∗ ( θ ′ , φ ′ ) = δ ( cos θ − cos θ ′ ) δ ( φ − φ ′ ) , {\displaystyle \sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m*}(\theta ',\varphi ')=\delta \left(\cos \theta -\cos \theta '\right)\delta \left(\varphi -\varphi '\right),} kde δ (x ) je Diracova delta funkce .
Alternativní sadu sférických harmonik bez imaginární části získáme jako
Y ℓ 0 pro 0 ≤ ℓ ≤ ∞ {\displaystyle Y_{\ell }^{0}\quad \quad {\mbox{ pro }}\ 0\leq \ell \leq \infty } a
1 2 ( ( − 1 ) m Y ℓ m + Y ℓ − m ) pro 0 ≤ ℓ ≤ ∞ , 1 ≤ m ≤ ℓ {\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left((-1)^{m}Y_{\ell }^{m}+Y_{\ell }^{-m}\right)\quad \quad {\mbox{ pro }}\ 0\leq \ell \leq \infty ,\ 1\leq m\leq \ell } a
1 i 2 ( ( − 1 ) m Y ℓ m − Y ℓ − m ) pro 0 ≤ ℓ ≤ ∞ , 1 ≤ m ≤ ℓ {\displaystyle {1 \over i{\sqrt {2}}}\left((-1)^{m}Y_{\ell }^{m}-Y_{\ell }^{-m}\right)\quad \quad {\mbox{ pro }}\ 0\leq \ell \leq \infty ,\ 1\leq m\leq \ell } Sférické harmoniky vyjádřené v kartézských souřadnicích vyjádříme dosazením
cos θ = z r , e ± n i φ ⋅ sin n θ = ( x ± i y ) n r n , r = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle \cos \theta ={z \over r},\qquad e^{\pm ni\varphi }\cdot \sin ^{n}\theta ={(x\pm iy)^{n} \over r^{n}},\qquad r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}
Zde jsou první sférické harmoniky:
Y 0 0 ( θ , φ ) = 1 2 1 π {\displaystyle Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {1 \over \pi }}} Y 1 − 1 ( x ) = 1 2 3 2 π ⋅ e − i φ ⋅ sin θ = 1 2 3 2 π ⋅ ( x − i y ) r {\displaystyle Y_{1}^{-1}(x)={1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \quad ={1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\cdot {(x-iy) \over r}} Y 1 0 ( x ) = 1 2 3 π ⋅ cos θ = 1 2 3 π ⋅ z r {\displaystyle Y_{1}^{0}(x)={1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\cdot \cos \theta \quad ={1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\cdot {z \over r}} Y 1 1 ( x ) = − 1 2 3 2 π ⋅ e i φ ⋅ sin θ = − 1 2 3 2 π ⋅ ( x + i y ) r {\displaystyle Y_{1}^{1}(x)={-1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \quad ={-1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\cdot {(x+iy) \over r}} Y 2 − 2 ( θ , φ ) = 1 4 15 2 π ⋅ e − 2 i φ ⋅ sin 2 θ {\displaystyle Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta } Y 2 − 1 ( θ , φ ) = 1 2 15 2 π ⋅ e − i φ ⋅ sin θ ⋅ cos θ {\displaystyle Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta } Y 2 0 ( θ , φ ) = 1 4 5 π ⋅ ( 3 cos 2 θ − 1 ) {\displaystyle Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}\cdot (3\cos ^{2}\theta -1)} Y 2 1 ( θ , φ ) = − 1 2 15 2 π ⋅ e i φ ⋅ sin θ ⋅ cos θ {\displaystyle Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta } Y 2 2 ( θ , φ ) = 1 4 15 2 π ⋅ e 2 i φ ⋅ sin 2 θ {\displaystyle Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta } Y 3 0 ( θ , φ ) = 1 4 7 π ⋅ ( 5 cos 3 θ − 3 cos θ ) {\displaystyle Y_{3}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {7 \over \pi }}\cdot (5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )}
Seznam sférických harmonických funkcí
Obrázky, zvuky či videa k tématu sférické harmonické funkce na Wikimedia Commons 
