Sférické harmonické funkce

Sférické harmonické funkce jsou ortogonální řešení úhlové části Laplaceovy rovnice vyjádřená ve sférických souřadnicích. Mají využití v mnoha oblastech matematiky a fyziky - např. jsou vhodné pro snadné vyjádření multipólového rozvoje v elektrostatice, pro řešení Schrödingerovy rovnice pro atom vodíku, pro velmi dobrou aproximaci gravitačního pole Země v její blízkosti či pro analýzu reliktního záření.

Úvod

Sloupce: l=0 do 4
Řádky: m=0 do ±4
Dvě neimaginární sférické harmoniky, které jsou lineární kombinací Yl,m a Yl,-m jsou shodné, ale navzájem otočené o 90 stupňů kolem osy z.

Laplaceova rovnice ve sférických souřadnicích je:

(viz sférická soustava souřadnic).

Separace proměnných vede k řešení vyjádřitelnému v goniometických funkcích a Legendrových polynomech.

Obecné řešení, které je konečné s r jdoucím k nekonečnu je lineární kombinací funkcí ve tvaru

a

kde jsou přidružené Legendrovy polynomy s celočíselnými parametry a m od 0 do .

Jinými slovy řešení s celočíselnými parametry a m od do lze psát jako lineární kombinaci:

kde funkce Y jsou sférické harmonické funkce s parametry l, m, které lze psát jako:

Sférické harmoniky splňují normalizační podmínku (δaa = 1 a δab = 0 pokud a ≠ b)

platí pro ně

a splňují relace úplnosti

kde δ(x) je Diracova delta funkce.

Y1
Y2
Y3

Alternativní sadu sférických harmonik bez imaginární části získáme jako

a

a

Sférické harmoniky vyjádřené v kartézských souřadnicích vyjádříme dosazením

.

Prvních několik sférických harmonik

Zde jsou první sférické harmoniky:

Související články

Seznam sférických harmonických funkcí

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Rotating spherical harmonics.gif
Autor: Cyp, Licence: CC BY-SA 3.0
Rotating spherical harmonics, to 4 vertical, to ±4 horizontal
Legendre Y3 polaire.png
Autor: unknown, Licence: CC BY-SA 3.0
Legendre Y2 xy.png
Autor: unknown, Licence: CC BY-SA 3.0
Legendre Y3 xy.png
Autor: unknown, Licence: CC BY-SA 3.0
Legendre Y1 polaire.png
Autor: unknown, Licence: CC BY-SA 3.0
Legendre Y2 polaire.png
Autor: unknown, Licence: CC BY-SA 3.0
Legendre Y1 xy.png
Autor: unknown, Licence: CC BY-SA 3.0