Sigma algebra
-algebra (sigma-algebra, též -těleso) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků a obsahuje sjednocení všech svých prvků. Prefix v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.
Definice
Systém podmnožin množiny nazveme -algebrou, jestliže obsahuje prázdnou množinu a je uzavřený na spočetné sjednocení a doplněk, tj.:
- jestliže , pak
- jestliže , pak
Vlastnosti
- -algebra obsahuje sjednocení všech svých prvků, tj.: , což dostaneme dosazením prázdné množiny za v poslední části definice
- -algebra je uzavřená na spočetný průnik svých prvků, tj. pro platí
Použití
Koncept -algebry je důležitý především v teorii míry a v teorii pravděpodobnosti. Míra je libovolná nezáporná funkce, která je -aditivní a má na prázdné množině hodnotu . Pravděpodobnost je míra, která má na množině hodnotu .
Měřitelná množina
V teorii míry se dvojice , kde je libovolná množina a je -algebra na nazývá měřitelný prostor a množiny nazýváme měřitelné množiny.