Sigma algebra

-algebra (sigma-algebra, též -těleso) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků a obsahuje sjednocení všech svých prvků. Prefix v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.

Definice

Systém podmnožin množiny nazveme -algebrou, jestliže obsahuje prázdnou množinu a je uzavřený na spočetné sjednocení a doplněk, tj.:

  1. jestliže , pak
  2. jestliže , pak

Vlastnosti

  • -algebra obsahuje sjednocení všech svých prvků, tj.: , což dostaneme dosazením prázdné množiny za v poslední části definice
  • -algebra je uzavřená na spočetný průnik svých prvků, tj. pro platí

Použití

Koncept -algebry je důležitý především v teorii míry a v teorii pravděpodobnosti. Míra je libovolná nezáporná funkce, která je -aditivní a má na prázdné množině hodnotu . Pravděpodobnost je míra, která má na množině hodnotu .

Měřitelná množina

V teorii míry se dvojice , kde je libovolná množina a je -algebra na nazývá měřitelný prostor a množiny nazýváme měřitelné množiny.

Související články