Singulární ordinál

Singulární ordinál (resp. singulární kardinál) je matematický pojem z oblasti teorie množin (ordinální aritmetiky).

Definice

Limitní ordinál ${\displaystyle \gamma }$ je singulární, je-li ostře větší než jeho kofinalita (ekvivalentně – není-li regulární). Je-li ${\displaystyle \gamma }$ zároveň kardinální číslo, nazývá se singulární kardinál.

Příklad

Kardinální číslo ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ je singulární, neboť pro jeho kofinál platí ${\displaystyle cf(\aleph _{\omega })=\ \aleph _{0}<\aleph _{\omega }}$.
(Stačí si uvědomit, že ${\displaystyle \{\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots \}=\{\aleph _{\alpha }:\alpha <\omega \}}$ je kofinální podmnožina množiny ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$.)

Vlastnosti

Moti Gitik roku 1979 ukázal, že tvrzení „Každý nespočetný kardinál je singulární“ je bezesporné s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin.

Související články

• Regulární ordinál
• Kofinál