Singularita (matematika)

Singularita je v matematice obecný název bodu, ve kterém daný matematický objekt není definován, nebo kde se objekt nechová v jistém smyslu rozumně — například není diferencovatelný. Například funkce má na množině reálných čísel singularitu v bodě , kde diverguje k nekonečnu a není zde definovaná, a funkce má také na množině reálných čísel singularitu v bodě , protože zde nemá derivaci. Body, v nichž funkce není singulární, se označují jako regulární.

Izolované singularity

V komplexní analýze je singularita bod, ve kterém funkce není komplexně diferencovatelná. Singularity hrají v komplexní analýze obzvláště významnou roli díky tomu, že Taylorovy nebo obecněji Laurentovy řady kolem daného bodu konvergují na kruhu nebo mezikruží až po nejbližší singularitu. Krom toho v singulárním bodě může mít funkce reziduum, což se významně projeví na chování křivkových integrálů kolem tohoto bodu. Významnou roli mají především singularity izolované, kolem kterých existuje takové okolí, že v něm nejsou další singularity. Formálněji řečeno, má-li funkce v bodě singularitu a existuje-li prstencové okolí bodu , na němž je holomorfní, pak se bod nazývá izolovaná singularita.

Podle limitního chování funkce v singularitě se izolované singularity se dělí na odstranitelné, podstatné a póly.

Odstranitelná singularita

Má-li funkce v bodě singularitu a existuje-li limita , potom je tato singularita odstranitelná. Přitom platí:

  • dodefinujeme-li v bodě uvedenou limitou, je tato funkce v bodě holomorfní;
  • existuje kolem bodu Taylorova řada pro stejnoměrně konvergentní po nejbližší další singularitu.

Podstatná singularita

Má-li funkce v bodě singularitu a limita neexistuje, potom má v bodě podstatnou singularitu. V takovém případě má Laurentova řada kolem nekonečně mnoho členů v hlavní části. Typickým příkladem takovéto singularity je singularita funkce v bodě .

Pól n-tého řádu

Má-li funkce v bodě singularitu a existuje-li limita , pak platí, že existuje (přirozené) číslo takové, že . Potom má v pól -tého řádu. Pól -tého řádu znamená, že funkce se v okolí chová podobně jako nějaký nenulový násobek funkce . Pokud je v pól, dá se kolem rozvinout do Laurentovy řady, která bude mít právě členů ve své hlavní části. Pól prvního řádu se často označuje jako jednoduchý.

Literatura

  • VESELÝ, Jiří. Komplexní analýza pro učitele [online]. Praha: 10. 2. 2013 [cit. 2019-09-26]. Dostupné online. ISBN 80-246-0202-4.