Sinová věta

Sinová věta popisuje v trigonometrii konstantní poměr délek stran a hodnot sinu jejich protilehlých vnitřních úhlů v obecném trojúhelníku. Podle sinové věty pro každý rovinný ${\displaystyle \triangle ABC}$ s vnitřními úhly α, β, γ, stranami a, b, c a poloměrem r kružnice opsané (viz obrázky vpravo) platí:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2r}$

Sinová věta je používána při triangulaci, kde umožňuje dopočítat délky zbývajících stran trojúhelníku, ve kterém je známá délka jedné strany a dvou úhlů. Alternativní větou pro obecný trojúhelník je kosinová věta.

Brazilský historik matematiky Ubiratàn D'Ambrosio a americká vědecká historička Helaine Selin tvrdí, že sférická sinová věta byla objevena v 10. století. Je připisována různým arabským učencům: Abu-Mahmud Chudžandi, Abu'l-Wafa, Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī a Abu Nasr Mansur.^[1]

Ibn Mu'adh al-Džajjani' napsal v 11. století knihu Kniha neznámých úhlů koule, která obsahuje obecnou sinovou větu.^[2] Sinovou větu v rovině představil ve 13. století perský učenec Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī. Ve svém díle Risālatun fī al-šakl al-qiṭā' wa al-nisbati al-mu'allafah, uvedl sinovou větu pro rovinné i sférické trojúhelníky a poskytl pro ni důkaz.^[3][4]

Historik Glen Van Brummelen uvedl, že v Evropě základy pro sinovou větu v pravoúhlém trojúhelníku položil německý matematik Regiomontanus v 15. století ve svazku Kniha IV, na čemž založil řešení v obecných trojúhelnících.^[5]

Následující příklady ukazují, jak využít sinovou větu při výpočtech v obecném trojúhelníku (nemusí tedy být pravoúhlý jako v případě použití Pythagorovy věty). Sinovou větou lze řešit příklady, kde jsou zadány alespoň tři údaje: strana a dva úhly (výsledkem je jedno řešení) nebo dvě strany a jiný úhel než jimi sevřený (výsledkem mohou být dvě řešení). Tyto výpočty jsou používány při tzv. triangulaci. Pro jiná zadání je možné použít kosinovou větu.

Zadání: V obecném trojúhelníku je strana b = 10, úhel α = 30° a úhel β = 45°. Jaká je velikost strany a?

Řešení: Podle sinové věty platí, že:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}}$

Do rovnice dosadíme známé hodnoty:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin 30^{\circ }}}={\frac {10}{\sin 45^{\circ }}}}$

Z rovnice vyjádříme a na levé straně rovnice:

${\displaystyle a={\frac {10}{\sin 45^{\circ }}}\cdot \sin 30^{\circ }}$

Výsledek je:

${\displaystyle a=7}$

Zadání: V obecném trojúhelníku je strana b = 18, strana c = 25, úhel β = 30°. Jaká je velikost úhlu γ?

Řešení: Podle sinové věty platí, že:

${\displaystyle {\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$

Do rovnice dosadíme známé hodnoty:

${\displaystyle {\frac {18}{\sin 30^{\circ }}}={\frac {25}{\sin \gamma }}}$

Rovnice vynásobíme oběma jmenovateli:

${\displaystyle 18\cdot {\sin \gamma }=25\cdot {\sin 30^{\circ }}}$

Upravíme:

${\displaystyle \sin \gamma ={\frac {25\cdot \sin 30^{\circ }}{18}}}$

Vyjádříme α:

${\displaystyle \gamma =\arcsin({\frac {25\cdot \sin 30^{\circ }}{18}})}$

Výsledek je:

${\displaystyle \gamma =44^{\circ }}$ nebo ${\displaystyle \gamma =136^{\circ }}$

Mějme trojúhelník ABC. Bod P je pata výšky v_c. Pak za použití funkce sinus a stran CP, AC a úhlu α (tj. úhel CAP) platí:^[6][7]

${\displaystyle \left|CP\right|=\left|AC\right|\cdot \sin \alpha =b\cdot \sin \alpha }$

A zároveň platí:

${\displaystyle \left|CP\right|=\left|BC\right|\cdot \sin \beta =a\cdot \sin \beta }$

Z předchozích dvou rovnic tedy platí:

${\displaystyle a\cdot \sin \beta =b\cdot \sin \alpha }$

Což lze zapsat také jako:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}}$

Ostatní rovnosti uváděné v sinové větě lze získat cyklickou záměnou stran.

Plochu S libovolného trojúhelníku lze zapsat jako součin poloviny jeho základny krát výška trojúhelníku. Vybereme-li jednu stranu trojúhelníku jako základnu, výška trojúhelníku vzhledem k této základně se vypočítá jako délka další strany krát sinus úhlu mezi vybranou stranou a základnou. V závislosti na výběru základny lze tedy obsah trojúhelníku zapsat jako kterýkoli navzájem si rovných výrazů:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}b\left(c\sin {\alpha }\right)={\frac {1}{2}}c\left(a\sin {\beta }\right)={\frac {1}{2}}a\left(b\sin {\gamma }\right)}$

Vynásobením předchozí rovnosti výrazem ${\displaystyle {\frac {2}{abc}}}$ dostaneme:

${\displaystyle {\frac {2S}{abc}}={\frac {\sin {\alpha }}{a}}={\frac {\sin {\beta }}{b}}={\frac {\sin {\gamma }}{c}}}$, což lze zapsat i jako převrácené hodnoty: ${\displaystyle {\frac {abc}{2S}}={\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}}$

Zjednodušení sinové věty, aplikované na pravoúhlý trojúhelník je:

${\displaystyle \sin(90)=1}$

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{1}}}$

z čehož plyne:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}=c}$

Sinovou větu lze ovšem zformulovat také takto:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}}$ , či takto: ${\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}}$ , nebo takto: ${\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {\sin \gamma }{\sin \alpha }}}$,

s významem: „Poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí jim protilehlých úhlů.“

Věta se používá zejména v následujících dvou případech:

• Jsou dány dva úhly trojúhelníku a délku jedné jeho strany a mají se dopočítat velikosti zbývajících stran. To je typická úloha při triangulaci.
• Jsou známy délky dvou stran trojúhelníku a velikost vnitřního úhlu který nesvírají, a je třeba zjistit zbývající úhly. V tomto případě se ovšem stává, že věta poskytne dvojici řešení, z nichž však pouze jedno dává součet úhlů 180° a tedy umožní sestavit trojúhelník.

Poměr vyjádřený sinovou větou je roven průměru kružnice opsané tomuto trojúhelníku:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2r}$

Z toho lze odvodit poloměr kružnice opsané:

${\displaystyle r={\frac {a}{2\cdot \sin \alpha }}={\frac {b}{2\cdot \sin \beta }}={\frac {c}{2\cdot \sin \gamma }}}$

• Kosinová věta
• Tangentová věta
• Pythagorova věta
• Goniometrie
• Triangulace

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Sinová věta na Wikimedia Commons