Slabá kardinální mocnina

Slabá kardinální mocnina je matematický pojem z oboru teorie množin, konkrétněji z oboru kardinální aritmetiky.

Definice

Jsou-li a dvě kardinální čísla, pak jejich slabou kardinální mocninu označujeme symbolem a definujeme vztahem
, tj. jako součet všech kardinálních mocnin s exponentem menším než .

Motivace pro zavedení

Při řešení otázek týkajících se mohutnosti množin se zavádějí dvě speciální podmnožiny potenční množiny:

Řečeno lidsky: množina všech podmnožin množiny s mohutností přesně a množina všech podmnožin množiny s mohutností menší než

Otázku, jakou má taková množina mohutnost, zodpovídá ve druhém případě právě slabá kardinální mocnina:
Pokud platí a (symbol je nejmenší kardinální číslo větší než ), potom

Příklad použití

V článku Kardinální aritmetika je vidět, jak málo toho lze zjistit o chování kardinální mocniny, pokud k axiomům Zermelo-Fraenkelovy teorie množin nepřidáme zobecněnou hypotézu kontinua nebo nějaké jí podobné tvrzení.

Alespoň částečnou představu o průběhu kardinálních mocnin dvojky dává pro regulární kardinály funkce gimel, pro singulární kardinály pak funkce gimel v kombinaci se slabou kardinální mocninou:

Je-li singulární kardinál, takové, že pro každé platí , potom

Je-li singulární kardinál a pro každé existuje , pro které platí , potom

Související články