Sloupcový vektor

Sloupcový vektor nebo sloupcová matice v lineární algebře je matice typu ${\displaystyle m\times 1}$, tj. matice sestávající z jediného sloupce o ${\displaystyle m}$ prvcích:

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{pmatrix}}}$

Transpozicí sloupcového vektoru je řádkový vektor a naopak:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{pmatrix}}^{\mathrm {T} }=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})}$

Množina všech sloupcových vektorů s daným počtem prvků vytváří vektorový prostor, který je duálním prostorem k množině všech řádkových vektorů se stejným počtem prvků.

Zápis

V anglicky psané literatuře se pro matice a vektory obvykle používají hranaté závorky:

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}}$

Aby bylo možné zapisovat sloupcové vektory do stejného řádku jako zbytek vzorce, zapisují se někdy jako řádkové vektory, na které je aplikována operace transpozice.

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{pmatrix}}^{\mathrm {T} }}$

Pro další zjednodušení někteří autoři používají konvenci pro zápis jak sloupcových tak řádkových vektorů jako řádky, ale prvky řádkových vektorů oddělují mezerami a sloupcových středníky (viz alternativní zápis v tabulce níže).

Operace

• Násobení matic spočívá ve znásobení každého řádkového vektoru jedné matice každým sloupcovým vektorem druhé matice.

• Skalární součin dvou vektorů ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}}$ je ekvivalentní s násobením řádkového vektoru ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ sloupcovým vektorem ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}}$:

${\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle ={\boldsymbol {x}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {y}}=(x_{1},x_{2},x_{3}){\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}}$

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Column vector na anglické Wikipedii.

Literatura

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Kovariance a kontravariance vektorů