Souvislá množina

Souvislá (A) a nesouvislá (B) množina

Souvislá množina je v topologii množina, kterou nelze rozdělit na dvě disjunktní, neprázdné a otevřené podmnožiny.

Definice

Souvislá množina

Množina ${\displaystyle \mathbf {X} \subset \mathbf {M} }$, ${\displaystyle \mathbf {X} \neq \emptyset }$ topologického či metrického prostoru ${\displaystyle (\mathbf {M} ,\rho )}$ se nazývá souvislá, pokud kdykoli ${\displaystyle \mathbf {A} \subset \mathbf {M} }$, ${\displaystyle \mathbf {B} \subset \mathbf {M} }$ jsou množiny otevřené v M takové, že

• ${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {A} \cup \mathbf {B} }$ a
• ${\displaystyle \mathbf {A} \cap \mathbf {B} =\emptyset }$.

Pak buď ${\displaystyle \mathbf {A} =\emptyset }$ nebo ${\displaystyle \mathbf {B} =\emptyset }$

Ekvivalentní definice

• Množina ${\displaystyle \mathbf {X} \subset \mathbf {M} }$, ${\displaystyle \mathbf {X} \neq \emptyset }$ topologického či metrického prostoru ${\displaystyle (\mathbf {M} ,\rho )}$ se nazývá souvislá, pokud kdykoli ${\displaystyle \mathbf {A} \subset \mathbf {M} }$, ${\displaystyle \mathbf {B} \subset \mathbf {M} }$ jsou množiny uzavřené v M takové, že
  • ${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {A} \cup \mathbf {B} }$ a
  • ${\displaystyle \mathbf {A} \cap \mathbf {B} =\emptyset }$.

Pak buď ${\displaystyle \mathbf {A} =\emptyset }$ nebo ${\displaystyle \mathbf {B} =\emptyset }$

• Je-li ${\displaystyle \mathbf {f} :\mathbf {X} \rightarrow [0,1]}$ spojité zobrazení a ${\displaystyle \{0,1\}\subset \mathbf {f} [\mathbf {X} ]}$, pak ${\displaystyle \mathbf {f} [\mathbf {X} ]=[0,1]}$.

Souvislý prostor

Topologický prostor je souvislý, je-li svou vlastní souvislou podmnožinou.

Topologický prostor ${\displaystyle X}$ je souvislý právě tehdy, když jediné podmnožiny v ${\displaystyle X}$, které jsou současně otevřené i uzavřené, jsou ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle \emptyset }$. V opačném případě bývá prostor ${\displaystyle X}$ označován jako nesouvislý.

Komponenta souvislosti

Komponenta souvislosti množiny ${\displaystyle \mathbf {X} \subset \mathbf {M} }$ je každá její maximální (vzhledem k ${\displaystyle \subseteq }$) souvislá podmnožina.

Související články

• Topologie
• Obloukově souvislá množina