Speciální lineární grupa

Speciální lineární grupa je pojem z teorie grup. Jde o grupu lineárních automorfizmů nějakého vektorového prostoru, které mají determinant jedna. Grupová operace je operace skládání zobrazení.

Ekvivalentně se dá definovat jako množina regulárních matic ${\displaystyle n\times n}$, které mají determinant jedna. Pro ${\displaystyle n}$-rozměrný vektorový prostor ${\displaystyle V}$ nad tělesem ${\displaystyle F}$ se příslušná speciální lineární grupa značí ${\displaystyle SL(V)}$, resp. ${\displaystyle SL(n,F)}$.

Podobně se definuje speciální lineární grupa pro matice nad nějakým okruhem. Regulární matice nad okruhem obecně nejsou invertibilní, matice determinantu 1 ale ano. Pro okruh celých čísel dostáváme grupu celočíselných matic ${\displaystyle n\times n}$ s jednotkovým determinantem ${\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )}$.

Vlastnosti

Speciální lineární grupy nad reálnými resp. komplexnímy čísly ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$ resp. ${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$ tvoří pro ${\displaystyle n>1}$ jednoduchou Lieovu grupu dimenze ${\displaystyle n-1}$ resp. ${\displaystyle 2n-2}$. Tyto grupy jsou nekompaktní. Maximální kompaktní podgrupa ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$ je ortogonální grupa ${\displaystyle SO(n)}$ a maximální kompaktní podgrupa ${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$ je unitární grupa ${\displaystyle SU(n)}$. Fundamentální grupa ${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$ je triviální, fundamentální grupa ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$ je izomorfní ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ pro ${\displaystyle n=2}$ a ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ pro ${\displaystyle n>2}$.

Grupa ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$ je izomorfní dvojitému nakrytí Lorentzovy grupy ${\displaystyle SO(3,1)}$.

Pro konečné těleso ${\displaystyle F\simeq GF(p^{k})}$ jsou konečné i grupy ${\displaystyle SL(n,F)}$. Odfaktorováním centra ${\displaystyle Z}$ dostáváme Chevalleyho speciální lineární grupy

${\displaystyle A_{n}(p^{k})=SL(n+1,F)/Z}$

které jsou jednoduché kromě ${\displaystyle A_{1}(2)}$ a ${\displaystyle A_{1}(3)}$.