Stefanův–Boltzmannův zákon

Stefanův–Boltzmannův zákon publikovaný roku 1879 Ludwigem Boltzmannem a Jožefem Stefanem popisuje celkovou intenzitu záření absolutně černého tělesa. Tento zákon říká, že intenzita vyzařování roste se čtvrtou mocninou termodynamické teploty zářícího tělesa.

${\displaystyle I=\sigma T^{4}}$

• I – celková intenzita záření (podíl výkonu a plochy) [W·m⁻²]
• ${\displaystyle \sigma =5{,}670\,374\,419\cdot 10^{-8}{\rm {W\,m^{-2}\,K^{-4}}}}$ – Stefanova–Boltzmannova konstanta
• T – termodynamická teplota [K]

Pro „šedé těleso“ lze Stefanův–Boltzmannův zákon psát jako

${\displaystyle I=\epsilon \sigma T^{4}}$

kde ${\displaystyle \epsilon }$ je emisivita povrchu tělesa.

Tabulka

Tabulka ukazuje příklady hodnot měrného výkonu (intenzity záření) pro některé teploty:

Odvození

Vyjdeme z Planckova vyzařovacího zákona:

${\displaystyle {\rm {d}}I(\omega )={\frac {\hbar }{4\pi ^{2}c^{2}}}{\frac {\omega ^{3}}{e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1}}\mathrm {d} \omega }$,

v němž veličina ${\displaystyle I(\omega )}$ je intenzita záření absolutně černého tělesa na dané frekvenci ${\displaystyle \omega }$. Celkovou intenzitu záření ${\displaystyle I}$ vyzařovanou napříč spektrem pak získáme integrací přes všechny možné úhlové frekvence záření:

${\displaystyle I=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} I(\omega )}{\mathrm {d} \omega }}\mathrm {d} \omega ={\frac {\hbar }{4\pi ^{2}c^{2}}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\omega ^{3}\mathrm {d} \omega }{e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1}}}$.

Integrál v tomto výrazu zjednodušíme substitucí ${\displaystyle x={\frac {\hbar \omega }{kT}}}$, podle které ${\displaystyle \omega ={\frac {kT}{\hbar }}x}$ a ${\displaystyle \mathrm {d} \omega ={\frac {kT}{\hbar }}\mathrm {d} x}$:

${\displaystyle I={\frac {\hbar }{4\pi ^{2}c^{2}}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {x^{3}\mathrm {d} x}{e^{x}-1}}{\frac {k^{4}T^{4}}{\hbar ^{4}}}}$.

Hodnota určitého integrálu z tohoto výrazu je ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {x^{3}\mathrm {d} x}{e^{x}-1}}={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$, takže

${\displaystyle I={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}\,T^{4}=\sigma T^{4}}$.

Související články

• Planckův vyzařovací zákon
• Wienův posunovací zákon

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Stefanův-Boltzmannův zákon na Wikimedia Commons