Steinerova věta

Steinerova věta umožňuje vypočítat moment setrvačnosti tělesa rotujícího kolem osy, která neprochází jeho těžištěm. Je tak například možné vypočítat moment setrvačnosti tělesa složeného z několika základních těles, stačí znát momenty setrvačnosti jednotlivých těles a vzdálenost jejich těžišť od těžiště složeného tělesa. Na její formulaci se podílel i nizozemský fyzik Christiaan Huygens, proto někdy bývá nazývána "Huygens-Steinerovou větou".

Základní znění

"Moment setrvačnosti k mimotěžišťní ose je roven součtu momentu k těžišťní ose a součinu hmotnosti a čtverce vzdálenosti obou rovnoběžných os."

Základní vzorec

Za předpokladu, že ${\displaystyle J_{T}}$ představuje moment setrvačnosti tělesa k ose procházející těžištěm, ${\displaystyle m}$ hmotnost tělesa a ${\displaystyle r_{T}}$ vzdálenost osy rotace od těžiště, potom lze moment setrvačnosti ${\displaystyle J}$ k dané ose vypočítat následovně.

${\displaystyle J=J_{T}+m\,r_{T}^{2}}$

Tenzorový počet

Pro tenzor setrvačnosti lze Steinerovu větu formulovat následovně (E je jednotková matice, r_T je vektor se složkami (x_T, y_T, z_T) popisující vzdálenost osy rotace od těžiště, symbol ${\displaystyle \otimes }$ značí tenzorový součin):

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{T}+m\left(\mathbf {E} \mathbf {r} _{T}^{2}-\mathbf {r} _{T}\otimes \mathbf {r} _{T}\right)=\mathbf {J} _{T}+m\left[{\begin{matrix}y_{T}^{2}+z_{T}^{2}&-x_{T}y_{T}&-x_{T}z_{T}\\-x_{T}y_{T}&x_{T}^{2}+z_{T}^{2}&-y_{T}z_{T}\\-x_{T}z_{T}&-y_{T}z_{T}&x_{T}^{2}+y_{T}^{2}\end{matrix}}\right]}$.

Důsledek

Ze všech rovnoběžných os otáčení má těleso nejmenší moment setrvačnosti vzhledem k té, která prochází jeho těžištěm.

Související články

• Moment setrvačnosti
• Jakob Steiner
• Steinerův doplněk

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Steinerova věta na Wikimedia Commons