Stirlingova čísla

Stirlingova čísla jsou čísla hojně využívaná ve více oblastech matematiky, nejčastěji se s nimi můžeme setkat v matematické analýze, diskrétní matematice, zejména v kombinatorice. Byla pojmenována po skotském matematikovi Jamesi Stirlingovi, který je definoval v 18. století.

Stirlingova čísla dělíme na dvě kategorie:

  • Stirlingova čísla prvního druhu
  • Stirlingova čísla druhého druhu

Stirlingova čísla prvního druhu

Značení

Stirlingova čísla prvního druhu nejčastěji označujeme , dále se můžeme setkat s označením nebo .

Definice

Stirlingova čísla prvního druhu definujeme jako „počet permutací na n-prvkové množině s k cykly“.

Tabulka hodnot
0123456789
01
101
2011
30231
4061161
50245035101
6012027422585151
7072017641624735175211
805040130681313267691960322281
904032010958411812467284224494536546361

Stirlingova čísla druhého druhu

Značení

Stirlingova čísla druhého druhu nejčastěji označujeme , dále například .

Definice

Stirlingova čísla druhého druhu definujeme jako „počet rozkladů n-prvkové množiny na k tříd“.

Každá z těchto k tříd musí obsahovat alespoň jeden prvek.


Např. , neboli „počet rozkladů tří prvkové množiny na dvě třídy“ si můžeme představit následujícím způsobem.

Prvky v množině označíme jako , máme tedy množinu , chceme ji rozdělit na 2 množiny („třídy“).

Máme tyto možnosti:

  • .

Rozdělení nepočítáme, protože druhá množina neobsahuje alespoň jeden prvek.

Počet možných rozkladů je 3, neboli .


Tabulka hodnot
0123456789
01
101
2011
30131
401761
5011525101
601319065151
70163301350140211
80112796617011050266281
9012553025777069512646462361