Stupeň tělesového rozšíření

Stupeň tělesového rozšíření je v matematice, zejména teorii těles, koncept zachycující jakousi „velikost“ tělesového rozšíření. Je důležitý a používaný zejména v abstraktní algebře a teorii čísel, ale vyskytuje se i jinde, kde se více pracuje s tělesy.

Definice a značení

Je-li dáno tělesové rozšíření V/T, pak V může být uvažována jako vektorový prostor nad tělesem skalárů T. Dimenze takto chápaného vektorového prostoru se nazývá stupeň tělesového rozšíření a označuje se [V:T].

Stejně jako může být dimenze vektorového prostoru konečná nebo nekonečná, může být také konečný nebo nekončený stupeň tělesového rozšíření. Pak se mluví o konečném rozšíření nebo o nekonečném rozšíření.

Stupeň tělesového rozšíření, je nutno nezaměňovat se stupněm transcendence, jedná se o jiné koncepty. Například těleso racionálních funkcí Q(X) je nekonečného stupně nad tělesem racionálních čísel Q, ale je stupně transcendence jedna.

Násobitelnost stupňů rozšíření

Pokud jsou tři tělesa uspořádána do věže, tedy S je podtělesem T a T je podtělesem R, pak existuje jednoduchý vztah mezi stupni rozšíření R/T, T/S a R/S, totiž:

${\displaystyle [R:S]=[R:T]\cdot [T:S]}$

Jinými slovy řečeno, stupeň rozšíření mezi „největším“ a „nejmenším“ tělesem je součinem stupně „největšího“ nad „středním“ se stupněm „středního“ nad „nejmenším“. Jedná se tedy o podobný vztah, který v teorii grup pro řády grup uvádí Lagrangeova věta — hlubší souvislost mezi těmito vztahy odhaluje Galoisova teorie.

Vzorec platí nejen pro rozšíření konečného stupně, ale i pro nekonečná rozšíření. V takovém případě je možné jeho součin chápat jako součin kardinálních čísel. Tedy například platí, že je-li R/S konečné, jsou konečná i rozšíření T/S a R/T.

Pokud je R/S konečné, pak vzorec poměrně výrazně omezuje, jaká tělesa mohou existovat „mezi“ R a S, a to na základě jednoduché aritmetiky. Například je-li [R:S] prvočíslo, pak každé mezitěleso T musí splňovat buď [R:T] = 1 (ale pak tedy R=T), nebo [T:S]=1 (ale pak tedy T=S). Jinými slovy, žádné vlastní mezitělesa v takovém případě existovat nemohou.

Důkaz pro konečná rozšíření

R, T a S je věž těles uvedená výše a že d= [T:S] a e=[R:T] jsou konečná. To podle definice stupně rozšíření znamená, že je možno zvolit konečné báze, {u₁, …, u_d} pro T nad S a {w₁, …, w_e} pro R nad T. Jak se ukáže, tak prvky u_mw_n pro m od jedné do d a n od jedné do e tvoří bázi R nad S. Ta udává dimenzi R/S a protože je jich právě d·e, bude tímto důkaz hotov.

Nejprve důkaz, že lineárním obalem daných prvků je skutečně celé R/S. Je-li x prvek R, pak je možné jej zapsat jako nějakou lineární kombinaci prvků z {w₁, …, w_e}, tedy existují prvky a_n z T takové, že

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{e}a_{n}w_{n}=a_{1}w_{1}+\cdots +a_{e}w_{e}.}$

Protože prvky u_m zase tvoří bázi T nad S, pro každé n lze najít b_m,n, že

${\displaystyle a_{n}=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}=b_{1,n}u_{1}+\cdots +b_{d,n}u_{d}.}$

Z distributivity a asociativity násobení v S pak vyplývá

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}\right)w_{n}=\sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n}),}$

což ukazuje, že x lze napsat jako lineární kombinaci u_mw_n koeficientů z S, tedy lineárním obalem zmíněných prvků je skutečně celé R.

Zbývá dokázat, že u_mw_n jsou lineárně nezávislé nad S. Předpokládejme

${\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n})}$

pro nějaké koeficienty b_m,n z S. Pomocí distributivity a asociativity můžeme rovnost přepsat jako

${\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}\right)w_{n},}$

a vidíme, že výrazy v kulatých závorkách musí být nulové, neboť se jedná o prvky T a w_n jsou v T lineárně nezávislé. Tedy

${\displaystyle 0=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}}$

pro všechna n. Pak z toho, že b_m,n jsou prvky S, a u_m jsou v S lineárně nezávislé, plyne, že musí být b_m,n = 0 pro všechna m a všechna n. Z toho plyne že u_mw_n jsou lineárně nezávislé nad S, čímž je důkaz dokončen.

Příklady

• Těleso komplexních čísel je tělesovým rozšířením tělesa reálných čísel stupně [C:R]=2. Z toho vyplývá, že „mezi“ nimi už žádné netriviální těleso být nemůže.
• Konečné těleso GF(5³) je stupně tři nad svým podtělesem GF(5). Dokonce obecně platí, že je-li p prvočíslo a m a n jsou kladná přirozená čísla, přičemž n dělí m, pak [GF(p^m):GF(pⁿ)] = m/n.
• Tělesové rozšíření C(T)/C, kde C(T) je těleso racionálních funkcí nad tělesem C, je nekonečného stupně. To je vidět z toho, že funkce 1, T, T², … jsou lineárně nezávislé nad C.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Degree of a field extension na anglické Wikipedii.

Literatura

• BICAN, Ladislav. Algebra (pro učitelské studium). Praha: Academia, 2001. ISBN 80-200-0860-8. S. 81.