Sylvesterův zákon setrvačnosti

Sylvesterův zákon setrvačnosti je matematické tvrzení z oboru lineární algebry charakterizující vyjádření kvadratické formy diagonální maticí.

Znění věty

Pro každou kvadratickou formu f existuje báze, vůči které má f diagonální matici s prvky -1,0,1. Navíc, tato matice je, až na pořadí prvků, jednoznačná.

Důkaz

Existence

Buď ${\displaystyle A}$ matice formy ${\displaystyle f}$. A je symetrická, takže existuje její spektrální rozklad ${\displaystyle A=Q\Lambda Q^{T}}$, kde ${\displaystyle \Lambda ={\rm {diag(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})}}}$. Čili ${\displaystyle \Lambda =Q^{T}AQ}$ je diagonalizace formy. Pro ${\displaystyle -1,1}$ na diagonále provedeme úpravu ${\displaystyle \Lambda 'Q^{T}AQ\Lambda '}$, kde ${\displaystyle \Lambda '}$ je diagonální matice s prvky ${\displaystyle \Lambda '_{ii}=|\lambda _{i}|^{-1/2}}$ pro ${\displaystyle \lambda _{i}\neq 0}$ a ${\displaystyle \Lambda '_{ii}=0}$ pro ${\displaystyle \lambda _{i}=0}$.

Jednoznačnost

Nechť existují dvě různé diagonalizace ${\displaystyle D,D'}$ pro bázi ${\displaystyle B=\{w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}\}}$ a ${\displaystyle B'=\{w'_{1},w'_{2},\dots ,w'_{n}\}}$ prostoru ${\displaystyle V}$. Buď ${\displaystyle u\in V}$ libovolné a nechť má souřadnice ${\displaystyle x=[u]_{B}}$ a ${\displaystyle y=[u]_{B'}}$. Pak

${\displaystyle f(u)=x^{T}Dx=x_{1}^{2}+\dots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\dots -x_{q}^{2}+0x_{q+1}^{2}+\dots +0x_{n}^{2}}$,

${\displaystyle f(u)=y^{T}Dy=y_{1}^{2}+\dots +y_{p}^{2}-y_{p+1}^{2}-\dots -y_{q}^{2}+0y_{q+1}^{2}+\dots +0y_{n}^{2}}$.

Platí ${\displaystyle q=t}$, protože ${\displaystyle D=S^{T}D'S}$ pro nějakou regulární ${\displaystyle S}$. Proto ${\displaystyle D,D'}$ mají stejnou hodnost. Ukažme, že nutně ${\displaystyle p=s}$. BÚNO nechť ${\displaystyle p>s}$. Definujme prostory${\displaystyle P={\text{span}}(w_{1},w_{2},\dots ,w_{p})}$ a ${\displaystyle R={\text{span}}(w'_{s+1},w'_{s+2},\dots ,w'_{n})}$. Pak ${\displaystyle {\text{dim}}(P\cap R)={\text{dim}}P+{\text{dim}}R-{\text{dim}}(P+R)\leq p+(n-s)-n=p-s\leq 1}$.

Tedy existuje nenulový ${\displaystyle y\in P\cap R}$ a pro něj máme ${\displaystyle u=\sum _{i=1}^{p}x_{i}w_{i}=\sum _{j=s+1}^{n}y_{j}w'_{j}}$ z čehož dostaneme ${\displaystyle f(u)=x_{1}^{2}+...+x_{p}^{2}>0}$ a zároveň ${\displaystyle f(u)=-y_{s+1}^{2}-...-y_{t}^{2}\leq 0}$, což je spor.