Sylvesterova matice

Sylvesterova matice je v algebře zvláštní matice definovaná pro dvojici mnohočlenů v jedné neznámé, jejíž koeficienty jsou určeny koeficienty těchto mnohočlenů a jejímž determinantem je rezultant těchto polynomů. Je pojmenována po britském matematikovi Jamesi Josephu Sylvesterovi.

Formální definice

Nechť je ${\displaystyle R}$ komutativní okruh. Pro dva mnohočleny ${\displaystyle f=\sum _{i=0}^{m}f_{i}X^{i}}$ a ${\displaystyle g=\sum _{i=0}^{n}g_{i}X^{i}}$ stupně ${\displaystyle m,n}$ z okruhu mnohočlenů ${\displaystyle R[x]}$ se Sylvestrovou maticí rozumí čtvercová matice stupně ${\displaystyle m+n}$ s podobou

${\displaystyle \operatorname {Syl} (f,g)={\begin{pmatrix}f_{m}&&\cdots &&f_{0}&&&\\&f_{m}&&\cdots &&f_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&f_{m}&&\cdots &&f_{0}\\g_{n}&&\cdots &&g_{0}&&&\\&g_{n}&&\cdots &&g_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&g_{n}&&\cdots &&g_{0}\\\end{pmatrix}}}$

Příklad

Pro mnohočleny stupně 4 a 3 vypadá Sylvesterova matice následovně

${\displaystyle \operatorname {Syl} {f,g}={\begin{pmatrix}f_{4}&f_{3}&f_{2}&f_{1}&f_{0}&0&0\\0&f_{4}&f_{3}&f_{2}&f_{1}&f_{0}&0\\0&0&f_{4}&f_{3}&f_{2}&f_{1}&f_{0}\\g_{3}&g_{2}&g_{1}&g_{0}&0&0&0\\0&g_{3}&g_{2}&g_{1}&g_{0}&0&0\\0&0&g_{3}&g_{2}&g_{1}&g_{0}&0\\0&0&0&g_{3}&g_{2}&g_{1}&g_{0}\end{pmatrix}}.}$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Sylvestermatrix na německé Wikipedii.