Symetrická diference

Vennův diagram pro ${\displaystyle A\triangle B,}$
Symetrický rozdíl množin je
Sjednocení bez průsečíku množin
${\displaystyle ~\setminus ~}$ ${\displaystyle ~=~}$

V matematice se jako symetrická diference nebo symetrický rozdíl dvou množin označuje taková množina, která obsahuje všechny prvky z obou množin, které nejsou v jejich průniku. Symetrická diference množin A a B se značí jako

${\displaystyle A\,\triangle \,B}$

nebo

${\displaystyle A\div B}$

nebo

${\displaystyle A\ominus B.}$

Například symetrická diference množin ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ a ${\displaystyle \{3,4\}}$ je množina ${\displaystyle \{1,2,4\}}$. Symetrická diference množin dívek a studentů je množina všech dívek, které nejsou studentky, a všech chlapců studentů.

Potenční množina libovolné množiny s operací symetrické diference je abelovou grupou; neutrální prvek grupy je prázdná množina, a protože symetrická diference množiny se sebou samou je prázdná množina, tak každý prvek potenční množiny je svým vlastním inverzním prvkem.

Vlastnosti

Vennův diagram pro ${\displaystyle A\triangle B\triangle C}$
${\displaystyle ~\triangle ~}$ ${\displaystyle ~=~}$

Symetrická diference je ekvivalentní se sjednocením obou rozdílů množin:

${\displaystyle A\,\triangle \,B=(A\smallsetminus B)\cup (B\smallsetminus A)}$

a také může být vyjádřena jako sjednocení dvou množin bez jejich průniku:

${\displaystyle A\,\triangle \,B=(A\cup B)\smallsetminus (A\cap B)}$

nebo pomocí operace XOR:

${\displaystyle A\,\triangle \,B=\{x:(x\in A)\oplus (x\in B)\}.}$

Zvláště pak platí, že:

${\displaystyle A\triangle B\subseteq A\cup B.}$

Symetrická diference je komutativní a asociativní:

${\displaystyle A\,\triangle \,B=B\,\triangle \,A,\,}$

${\displaystyle (A\,\triangle \,B)\,\triangle \,C=A\,\triangle \,(B\,\triangle \,C).\,}$

Průnik je distributivní nad symetrickou diferencí:

${\displaystyle A\cap (B\,\triangle \,C)=(A\cap B)\,\triangle \,(A\cap C),}$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Symmetric difference na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu symetrická diference na Wikimedia Commons