Symetrická matice

Schematické naznačení symetrie v čtvercové matici stupně pět

Symetrická matice je v lineární algebře každá čtvercová matice, která je osově souměrná podle své hlavní diagonály. Jedná o čtvercovou matici, která se shoduje se svou transponovanou maticí, neboli .

Symetrické matice se v lineární algebře používají k popisu symetrických bilineárních forem. Matice samoadjungovaného lineárního zobrazení vzhledem k ortonormální bázi je vždy symetrická. Soustavy lineárních rovnic se symetrickými maticemi soustavy lze řešit efektivně a numericky stabilně. Dále se symetrické matice používají v ortogonálních projekcích a při polárním rozkladu matic.

Symetrické matice mají aplikace také v geometrii, analýze, teorii grafů a stochastice.

Definice

Čtvercová matice řádu nad tělesem , se nazývá symetrická, pokud pro všechna platí:

.

Matice, která není symetrická se nazývá asymetrická, neplést s antisymetrickou maticí.

Příklady

Symetrickými maticemi jsou například:

.

Obecně mají symetrické matice o rozměrech , a následující podobu:

.

Speciální případy

Některé symetrické matice se zvláštními vlastnostmi mají vlastní název:

Vlastnosti

Popis

U symetrické matice stačí znát pouze prvky na diagonále a pod ní

U symetrické matice stačí znát prvků na diagonále a prvků na jedné straně diagonály (nad nebo pod). Hodnoty prvků na opačné straně diagonály lze odvodit ze symetrie matice. Symetrická matice může mít nejvýše

různých prvků. Ve srovnání s nesymetrickými maticemi řádu , které mohou mít až různých prvků, jde zhruba o poloviční množství dat, a proto byly pro symetrické matice navrženy speciální formáty pro ukládání v počítači. [1]

Vektorový prostor symetrických matic

Součet dvou symetrických matic je vždy symetrická matice, protože

Stejně tak i skalární násobek symetrické matice skalárem je opět symetrická matice. Protože je nulová matice také symetrická, tvoří množina symetrických matic řádu vektorový podprostor

prostoru čtvercových matic . Tento podprostor má dimenzi . Jeho bázi lze vytvořit z matic pro , a součtů pro . Uvedené matice tvoří standardní bázi prostoru , čili mají jediný nenulový prvek .

Rozklad

Pokud je charakteristika tělesa různá od 2, lze libovolnou čtvercovou matici zapsat jednoznačně jako součet , kde matice je symetrická a matice je antisymetrická:

  a  

Antisymetrické matice tvoří vektorový podprostor prostoru čtvercových matic. Značí se a má dimenzi . Prostor čtvercových matic dimenze lze vyjádřit jako direktní součet

prostorů symetrických a antisymetrických matic.

Součin

Součin dvou symetrických matic nemusí být opět symetrická matice. Součin symetrických matic je symetrický, právě když je součin a komutativní. Jinými slovy, pokud součin splňuje , pak také platí:

.

Pro symetrickou matici proto platí, že symetrické jsou všechny její mocniny , kde , i její maticová exponenciála .

Pro každou matici jsou matice typu , i matice typu symetrické.

Kongruence a podobnost

Každá matice , která je kongruentní symetrické matici , je také symetrická, protože platí

,

přičemž je odpovídající regulární matice.

Na druhou stranu existují i nesymetrické matice, které jsou podobné symetrické matici.

Inverze

Pokud je symetrická matice regulární, potom matice k ní inverzní je symetrická, protože pro ni platí:

.

V tomto případě jsou symetrické všechny mocniny pro .

Reálné symetrické matice

Symetrické matice s reálnými prvky mají řadu dalších vlastností.

Normální matice

Reálná symetrická matice je normální, protože platí

.

Každá reálná symetrická matice komutuje se svou transpozicí. Existují však i normální matice, které nejsou symetrické, například antisymetrické matice.

Hermitovské matice

Protože se na každé číslo shoduje se svým komplexně sdruženým protějškem, neboli , splývají reálné symetrické matice s reálnými hermitovskými. Formálně:

,

přičemž je hermitovská transpozice matice a je komplexně sdružená matice k .

Reálná symetrická matice je vždy hermitovská mimo jiné i proto, že vzhledem k standardnímu skalárnímu součinu na splňuje:

pro všechny vektory . Reálné symetrické matice jsou hermitovské i s ohledem na standardní skalární součin nad .

Vlastní čísla

Jednotková kružnice je transformována na elipsu pomocí reálné symetrické matice řádu 2. Poloosy elipsy odpovídají vlastním vektorům matice a jejich délky vlastním číslům.

Vlastní čísla reálné symetrické matice , tedy řešení rovnice , jsou vždy reálná. Kdyby bylo komplexní vlastní číslo matice příslušné netriviálnímu vlastnímu vektoru , , pak z toho, že je hermitovská plyne:

.

Protože pro každé platí , musí vlastní číslo splňovat , a proto je reálné. V důsledku lze i příslušný vlastní vektor zvolit reálný.

Násobnosti vlastních čísel

Pro každou reálnou symetrickou matici se algebraické a geometrické násobnosti všech vlastních čísel shodují. Důvod je následující. Pro vlastní číslo matice s geometrickou násobností existuje ortonormální báze prostoru vlastních vektorů příslušných k . Tuto bázi lze rozšířit pomocí vektorů na ortonormální bázi celého prostoru . S pomocí ortogonální matice je matice převedena na podobnou

což je bloková diagonální matice s bloky a . Vzhledem k tomu, že matice je hermitovská a vektory tvoří ortonormální bázi, platí pro prvky matice s indexy , že:

,

kde je Kroneckerovo delta. Vektory nejsou podle předpokladu vlastní vektory matice příslušné vlastnímu číslu , proto není žádným vlastním číslem matice . Vlastní číslo matice má podle vzorce pro determinant blokových matic shodnou algebraickou i geometrickou násobnost . Totéž platí i pro matici díky vzájemné podobnosti s maticí . [2]

Diagonalizovatelnost

Vzhledem k tomu, že se algebraické a geometrické násobnosti všech vlastních čísel shodují, a protože vlastní vektory příslušné různým vlastním číslům jsou lineárně nezávislé, tvoří vlastní vektory reálné symetrické matice bázi prostoru . Reálná symetrická matice je tedy vždy diagonalizovatelná, to znamená, že existuje regulární matice a diagonální matice splňující:

Matice je sestavena z vlastních vektorů po sloupcích a matice má vlastní čísla příslušná těmto vlastním vektorům na diagonále. Vzhledem k tomu, že sloupce matice , neboli vlastní vektory lze libovolně přerovnat, může být odpovídající pořadí prvků na diagonále libovolné. V důsledku si dvě reálné symetrické matice jsou podobné, právě když mají stejná vlastní čísla. Kromě toho jsou dvě reálné symetrické matice současně diagonalizovatelné, právě když spolu komutují.

Ortogonální diagonalizace

U symetrických matic platí, že vlastní vektory (modrý a fialový) příslušné různým vlastním číslům (zde 3 a 1) jsou na sebe kolmé. Při provedení transformace odpovídající matici se modré vektory třikrát prodlouží, zatímco fialové vektory si svou délku zachovají.

Vlastní vektory příslušné dvěma různým vlastním číslům reálné symetrické matici jsou vzájemně kolmé. Uvedený vztah opět z následující vlastnosti hermitovských matic :

.

Z předpokladu, že a jsou různá, pak plyne . Vlastní vektory tvoří ortonormální bázi prostoru . Každou reálnou symetrickou matici lze proto ortogonálně diagonalizovat, neboli existuje ortogonální matice splňující:

Tato reprezentace tvoří základ pro transformaci hlavní osy a je nejjednodušší verzí spektrální věty.

Parametry

Každá reálná symetrická matice diagonalizovatelná, a proto pro její stopu platí:

Její determinant tudíž splňuje:

Hodnost reálné symetrické matice je rovna počtu nenulových vlastních čísel. Za pomoci Kroneckerovy delty ji lze vyjádřit výrazem

.

Reálná symetrická matice je regulární, právě když má všechna vlastní čísla nenulová. Spektrální norma reálné symetrické matice je

a tedy rovna spektrálnímu poloměru matice. Frobeniova norma vyplývá z normality

.

Definitnost

Podrobnější informace naleznete v článku Pozitivně definitní matice.

Pro reálnou symetrickou matici a vektor se výraz

nazývá kvadratická forma určená maticí . Podle toho, jestli je pro všechna kladná, resp. nezáporná, záporná či nekladná, nazývá se matrice pozitivně definitní, resp. pozitivně semidefinitní, negativně definitní nebo negativně semidefinitní. Pokud nabývá kladných i záporných hodnot, nazývá se matice indefinitní. Definitnost reálné symetrické matice závisí na znaméncích jejích vlastních čísel. Pokud jsou všechna vlastní čísla kladná, je matice pozitivně definitní, pokud jsou všechna záporná, je matice negativně definitní atd. Trojice čísel daná počtem kladných, záporných a nulových vlastních čísel se nazývá signatura matice. Podle Sylvesterova zákona setrvačnosti je signatura zachována u kongruentních reálných symetrických matic.

Odhady vlastních čísel

Podle Courant-Fischerovy věty lze nejmenší a největší vlastní číslo symetrické odhadnout pomocí Rayleighova kvocientu. Konkrétně, pro všechna netriviální platí:

Rovnost platí, právě když je je vlastní vektor příslušný k danému vlastnímu číslu. V důsledku lze nejmenší a největší vlastní číslo reálné symetrické matice určit minimalizací nebo maximalizací Rayleighova kvocientu.

Další možnost pro odhad vlastních čísel nabízejí Geršgorinovy kruhy, které u reálných symetrických matic mají tvar intervalů.

Pro dvě reálné symetrické matice s vlastními čísly seřazenými sestupně a platí odhad

.

Rovnost je splněna, právě když matice a jsou současně diagonalizovatelné vzhledem k uspořádání vlastních čísel, neboli když existuje ortogonální matice taková, že platí a . Uvedená nerovnost zobecňuje Cauchy-Schwarzovu nerovnost pro Frobeniův skalární součin a permutační nerovnost pro vektory. [3]

Komplexní symetrické matice

Rozklad

Podobně jako u reálných matic lze prostor komplexních čtvercových matic zapsat jako direktní součet prostorů symetrických a antisymetrických matic:

Jde zároveň o ortogonální součet vzhledem k Frobeniově skalárnímu součinu, protože pro všechny matice a platí:

z čehož vyplývá . Ortogonalita rozkladu platí i pro reálný maticový prostor .

Spektrum

Pro komplexní matice nemá symetrie žádný zvláštní vliv na spektrum matice. Komplexní symetrická matice může mít nereálná vlastní čísla. Například komplexní symetrická matice má dvě vlastní čísla .

Existují komplexní symetrické matice, které nelze diagonalizovat. Například matice má jediné vlastní číslo s algebraické násobnosti dvě a geometrické násobnosti jedna. Obecně platí, že jakákoli komplexní čtvercová matice je podobná komplexní symetrické matici. Spektrum komplexní symetrické matice proto nevykazuje žádné zvláštnosti. [4]

Komplexním rozšířením reálných symetrických matic, pokud jde o matematické vlastnosti, jsou hermitovské matice.

Rozklad

Libovolnou komplexní symetrickou matici lze pomocí Autonne-Takagiho faktorizace rozložit na součin

,

kde matice je unitární, je reálná diagonální. Prvky diagonální matice jsou singulární hodnoty , neboli odmocniny vlastních čísel matice . [5]

Použití

Symetrické bilineární formy

Každá bilineární forma na vektorovém prostoru dimenze nad tělesem může být vzhledem k bázi prostoru reprezentována čtvercovou maticí danou vztahem:

Pokud je bilineární forma symetrická, pak platí pro všechny , a matice je symetrická. Naopak každá symetrická matice definuje symetrickou bilineární formu vztahem:

Je-li matice navíc pozitivně definitní, pak představuje skalární součin na euklidovském prostoru .

Samoadjungované zobrazení

Je-li reálný prostor se skalárním součinem dimenze , pak může být každé lineární zobrazení vzhledem k ortonormální bázi prostoru reprezentováno maticí zobrazení

,

kde pro . Matice zobrazení je symetrická, právě když je zobrazení samoadjungované. To vyplývá ze vztahu

,

kde a jsou vektory souřadnic vektorů a .

Projekce a souměrnost

Ortogonální rozklady jsou popsány symetrickými maticemi

Je-li opět reálný prostor se skalárním součinem dimenze a je jeho -dimenzionální podprostor, přičemž jsou vektory ortonormální báze prostoru , potom matice kolmé projekce na podprostor je

.

Tato matice je symetrická, neboť je dána součtem symetrických matic. Také matice kolmé projekce do ortogonálního doplňku je díky reprezentaci vždy symetrická. S pomocí matic projekcí a může být libovolný vektor rozložen na součet vzájemně kolmých vektorů a . Geometrická transformace souměrnosti podle podprostoru má symetrickou matici .

Soustavy lineárních rovnic

Řešení soustavy lineárních rovnic se symetrickou maticí soustavy může být zjednodušeno, pokud se využije symetrie matice , konkrétně jejího rozkladu:

s dolní trojúhelníkovou matricí s jedničkami na diagonále a diagonální maticí . Tento rozklad se používá např. při Choleského rozkladu pozitivně-definitivních symetrických matic.

Metody CG a MINRES jsou příklady moderních přístupů pro numerické řešení rozsáhlých soustav lineárních rovnic s řídkou symetrickou maticí soustavy.

Polární rozklad

Každá čtvercová matice polární rozklad

s ortogonální maticí a pozitivní semidefinitní symetrickou maticí . Matice je druhá odmocnina z . Pokud je regulární, je pozitivně definitní a polární rozklad je pak dán .

Aplikace

Geometrie

Kvadriky lze popsat symetrickými maticemi

Kvadrika v -rozměrném euklidovském prostoru je množina kořenů kvadratického polynomu v neznámých. Každou kvadriku lze definovat pomocí nenulové symetrické matice , vektoru a absolutního členu jako množinu bodů

.

Analýza

Charakterizaci extrémů dvakrát spojitě derivovatelných funkcí lze provést pomocí Hessovy matice

Hessova matice je podle Schwarzovy věty symetrická. Podle toho, jestli je je pozitivně definitní, negativně definitní nebo indefinitní leží v bodě lokální minimum, lokální maximum nebo sedlový bod.

Teorie grafů

Neorientovaný hranově­ vážený graf má symetrickou matici sousednosti.

Matice sousednosti neorientovaného hranově váženého grafu s množinou vrcholů je z definice

, kde 

vždy symetrická. Matice odvozené z matice sousednosti součty nebo mocninami, jako například Laplaceova matice, matice sousednosti nebo matice vzdálenosti jsou také symetrické. Analýza těchto matic je předmětem spektrální teorie grafů.

Stochastika

Je-li náhodný vektor sestávající z reálných náhodných veličin s konečným rozptylem, pak přidružená kovarianční matice

je matice všech párových kovariancí těchto náhodných veličin. Protože pro všechna platí: , je kovarianční matice symetrická.

Symetrizovatelná matice

Čtvercová matice se nazývá symetrizovatelná, pokud existuje regulární diagonální matice a symetrická matice takové, že .

Transpozice symetrizovatelné matice je symetrická, protože a je symetrická.

Matice je symetrizovatelná, právě když jsou splněny následující podmínky:

  1. implikuje pro všechna a
  2. pro jakoukoli konečnou posloupnost

Odkazy

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Symmetrische Matrix na německé Wikipedii a Symmetric matrix na anglické Wikipedii.

  1. ÜBERHUBER, Christoph W. Computer-Numerik. 2. vyd. [s.l.]: Springer, 1995. S. 401 a násl.. 
  2. HOWARD, Anton; RORRES, Chris. Elementary Linear Algebra: Applications Version. [s.l.]: John Wiley & Sons, 2010. S. 404–405. 
  3. BORWEIN, Jonathan M.; LEWIS, Adrian S. Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples. [s.l.]: Springer, 2010. ISBN 978-0-387-31256-9. S. 10. 
  4. HORN, Roger A.; JOHNSON, Charles R. Johnson. [s.l.]: Cambridge University Press, 2012. S. 271. 
  5. HORN, Roger A.; JOHNSON, Charles R. Johnson. [s.l.]: Cambridge University Press, 2012. S. 153. 

Literatura

  • Slovník školské matematiky. Praha: SPN, 1981. 240 s. 
  • BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
  • BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
  • MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

Média použitá na této stránce

Quadriken-alle.png
Autor: Ag2gaeh, Licence: CC BY-SA 3.0
quadrics: ellipsoid,hyperboloid of one/two sheet,cone,cylinder,elliptical and hyperbolic paraboloid
Matrix symmetry qtl1.svg
Autor: Quartl, Licence: CC BY-SA 3.0
Symmetry pattern of a symmetric 5×5 matrix
Symmetric transformation qtl1.svg
Autor: Quartl, Licence: CC BY-SA 3.0
Transformation of a circle into an ellipse by a symmetric matrix A. The absolute values of the eigenvalues of the matrix correspond to the half-axes of the ellipse.
Orthogonal Decomposition qtl1.svg
Autor: Quartl, Licence: CC BY-SA 3.0
Illustration of the orthogonal decomposition of a vector into .
Eigenvectors-extended.gif

The transformation matrix preserves the direction of vectors parallel to (in blue) and (in violet). The points that lie on the line through the origin, parallel to an eigenvector, remain on the line after the transformation. These lines are represented as faint blue and violet lines, matching the associated eigenvectors. The vectors in red are not eigenvectors, therefore their direction is altered by the transformation.

Notice that all blue vectors are scaled by a factor of 3. This is their associated eigenvalue. The violet vectors are not scaled, so their eigenvalue is 1.
Symmetric matrix qtl1.svg
Autor: Quartl, Licence: CC BY-SA 3.0
A symmetric matrix with diagonal and lower triangular part marked
Complete network.svg
Autor: unknown, Licence: CC BY-SA 3.0