Symplektická grupa

Symplektická grupa je pojem z matematiky, přesněji z lineární algebry, Lieových grup a matematické teorie mechaniky.

Definice

Symplektická grupa je množina všech invertibilních lineárních zobrazení prostoru V do sebe, které zachovávají nějakou nedegenerovanou antisymetrickou bilineární formu ${\displaystyle \omega }$. Tedy ${\displaystyle Sp(V,\omega )=\{A\in End(V),\forall \mathbf {v} ,\mathbf {w} \quad \omega (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\omega (A\mathbf {v} ,A\mathbf {w} )\}.}$

Pro různá ${\displaystyle \omega }$ jsou grupy ${\displaystyle Sp(V,\omega )}$ izomorfní, značí se tedy častěji jako ${\displaystyle Sp(V)}$. Pokud je V reálný dimenze ${\displaystyle 2n}$, značíme příslušnou grupu ${\displaystyle Sp(2n,\mathbb {R} )}$, pro komplexní V značíme ${\displaystyle Sp(2n,\mathbb {C} )}$.

Kromě toho se obvykle definuje tzv. kvaternionická symplektická grupa ${\displaystyle Sp(n)}$, která je definována jako množina všech invertibilních lineárních zobrazení prostoru ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ nad tělesem kvaternionů. Tato grupa je kompaktní a dá se reprezentovat pomocí komplexních matic dimenze 2n jako

${\displaystyle Sp(n)=Sp(2n,\mathbb {C} )\cap U(2n)}$

kde U(2n) je unitární grupa. Kvaternionická symplektická grupa se někdy značí také USp(n).

Příklad

Pokud V je reálný vektorový prostor dimenze 2, je Sp(V) izomorfní SL(2,R), tzv. reálné unimodulární grupě. Odtud snadno plyne, že elementy Sp(V) v tomto případě jsou složení rotací, spc. zkosení a spc. dilatací, generující všechna lineární izovolumina.

Pro kvaternionickou symplektickou grupu dimenze 1 platí

${\displaystyle Sp(1)\simeq SU(2)\simeq S^{3}}$

kde SU(2) je speciální unitární grupa a ${\displaystyle S^{3}}$ grupa jednotkových kvaternionů.

Tvrzení

Pokud V je komplexní nebo reálný vektorový dimenze 2n, je symplektická grupa Sp(V) nekompaktní souvislou Lieovou grupou komplexní nebo reálné dimenze n(2n+1) .

Pokud V je reálný, je první homotopická grupa Sp(V) izomorfní Z, tj. homotopického typu kružnice. Pokud V je komplexní, je Sp(V) jednoduše souvislá.

Pokud A in Sp(V), pak det(A) = 1. Pro V komplexní nebo reálný, je Sp(V) tzv. jednoduchá Lieova grupa.

Aplikace

Symplektická grupa Sp(V) je grupou všech lineárních kanonických transformací lib. Hamiltonova systému na V.

Symplektická grupa je užívána v teorii Eisensteinových řad.